electromag et electrostatique

• Comment s'exprime le vecteur position $\vec{r}$ dans un repère orthonormé Oxyz ?


  $\vec{r} =$$x\vec{e_x} +$$y\vec{e_y} +$$z\vec{e_z}$
• Que représente $d\vec{OM}$ si M se déplace ?


  $d\vec{OM} =$$dx\vec{e_x} +$$dy\vec{e_y} +$$dz\vec{e_z}$
• Quelle est la norme de $\vec{OM}$ en coordonnées cartésiennes ?


  $\|\vec{OM}\|^2 =$$x^2 +$$y^2 +$$z^2$
• Que représente $(d\vec{OM})^2$ en coordonnées cartésiennes ?


  $(d\vec{OM})^2 =$$dx^2 +$$dy^2 +$$dz^2$
• Quels sont les vecteurs unitaires en coordonnées cylindriques ?

  $\vec{e_r}, \vec{e_\theta}, \vec{e_z}$
• Comment s'exprime $\vec{OM}$ en coordonnées cylindriques ?


  $\vec{OM} =$$r\vec{e_r} +$$z\vec{e_z}$
• Quelle est la norme de $\vec{OM}$ en coordonnées cylindriques ?


  $\|\vec{OM}\|^2 =$$r^2 +$$z^2$
• Que représente $(d\vec{OM})^2$ en coordonnées cylindriques ?


  $(d\vec{OM})^2 =$$dr^2 +$$(r d\theta)^2 +$$dz^2$
• Quels sont les vecteurs unitaires en coordonnées sphériques ?

  $\vec{e_r}, \vec{e_\theta}, \vec{e_\phi}$
• Comment s'exprime $\vec{OM}$ en coordonnées sphériques ?


  $\vec{OM} =$$r\vec{e_r}$
• Quelle est la norme de $\vec{OM}$ en coordonnées sphériques ?


  $\|\vec{OM}\|^2 =$$r^2$
• Que représente $(d\vec{OM})^2$ en coordonnées sphériques ?


  $(d\vec{OM})^2 =$$dr^2 +$$r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 +$$r^2 d\theta^2$
• Comment s'exprime la somme de deux vecteurs $\vec{V_1}$ et $\vec{V_2}$ ?


  $\vec{V} =$$\vec{V_1} +$$\vec{V_2}$
• Quelle est la définition du produit scalaire de deux vecteurs $\vec{V_1}$ et $\vec{V_2}$ ?


  $S =$$V_1 V_2 \cos \alpha$
• Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ?

  0
• Que vaut $\vec{e_x} \cdot \vec{e_y}$ ?


  0
• Comment s'exprime le produit scalaire en coordonnées cartésiennes ?

  $S =$$X_1 X_2 +$$Y_1 Y_2 +$$Z_1 Z_2$
• Quelle est la norme du produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{V_1}$ et $\vec{V_2}$ ?


  $V_1 V_2 |\sin \alpha|$
• Que vaut le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles ?

  0
• Que vaut $\vec{e_x} \wedge \vec{e_y}$ ?


  $\vec{e_z}$
• Comment s'exprime le produit vectoriel en coordonnées cartésiennes ?

  $\vec{P} =$$(Y_1 Z_2 - Y_2 Z_1)\vec{e_x} +$$(X_2 Z_1 - X_1 Z_2)\vec{e_y} +$$(X_1 Y_2 - X_2 Y_1)\vec{e_z}$
• Comment s'exprime la circulation élémentaire $dC$ d'un vecteur $\vec{V}$ ?


  $dC =$$\vec{V} \cdot d\vec{M}$
• Comment s'exprime le flux élémentaire $d\Phi$ d'un vecteur $\vec{V}$ à travers une surface $d\vec{S}$ ?


  $d\Phi =$$\vec{V} \cdot d\vec{S}$
• Comment s'exprime l'angle solide élémentaire $d\Omega$ sous lequel on voit une surface $dS$ à partir d'un point O ?


  $d\Omega =$$\frac{dS \cos \alpha}{r^2}$
• Comment s'exprime le gradient d'une fonction scalaire $f(x, y, z)$ en coordonnées cartésiennes ?


  $\vec{\nabla} f =$$\frac{\partial f}{\partial x} \vec{e_x} +$$\frac{\partial f}{\partial y} \vec{e_y} +$$\frac{\partial f}{\partial z} \vec{e_z}$
• Quelle est la différence entre un vecteur polaire et un vecteur axial ?

  Un vecteur polaire est indépendant du sens de l'axe, tandis qu'un vecteur axial dépend du sens de rotation autour de son axe.
• Comment s'exprime le moment d'une force $\vec{F}$ par rapport à un point O ?


  $\vec{M_O} =$$\vec{OM} \wedge \vec{F}$
• Comment s'exprime la circulation d'un vecteur $\vec{V}$ sur un chemin fermé ?


  $C =$$\oint \vec{V} \cdot d\vec{M}$
• Comment s'exprime le flux d'un vecteur $\vec{V}$ à travers une surface fermée ?


  $\Phi =$$\oiint \vec{V} \cdot \vec{N} dS$
• Quelle est la direction du gradient par rapport à une surface de niveau ?

  Le gradient est normal à la surface de niveau
• Pourquoi le gradient est-il orienté dans le sens des valeurs croissantes de f ?

  Car $df =$$\lambda_2 - \lambda_1 > 0$ pour $\lambda_2 > \lambda_1$
• Quelle est la formule de la circulation d'un gradient entre deux points A et B ?

  $C_{AB} =$$\int_A^B \vec{\nabla} f \cdot d\vec{M} =$$f(B) - f(A)$
• Quelle condition doit satisfaire un vecteur $\vec{V}$ pour être un champ de gradient ?


  Les dérivées partielles croisées de ses composantes doivent être égales deux à deux
• Quelle est l'expression de la divergence en coordonnées cartésiennes ?

  $\text{div} \vec{V} =$$\frac{\partial V_x}{\partial x} +$$\frac{\partial V_y}{\partial y} +$$\frac{\partial V_z}{\partial z}$
• Quelle est la relation entre la divergence et le flux d'un vecteur à travers une surface fermée ?

  $d\Phi =$$\text{div} \vec{V} \, d\tau$
• Si $\vec{V} =$$(ax + by)\vec{e}_x +$$(cx + fy)\vec{e}_y$, quelle est la divergence de $\vec{V}$ ?


  $\text{div} \vec{V} =$$a +$$f$
• Quelle est l'expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes ?

  $\vec{\text{rot}} \vec{V} =$$\left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) \vec{e}_x +$$\left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) \vec{e}_y +$$\left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) \vec{e}_z$
• Quelle est la relation entre le rotationnel et la circulation d'un vecteur sur un contour fermé ?

  $dC =$$\left( \vec{\text{rot}} \vec{V} \right) \cdot d\vec{S}$
• Quelle est l'expression du Laplacien en coordonnées cartésiennes ?

  $\Delta =$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} +$$\frac{\partial^2}{\partial y^2} +$$\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
• Quelle est la formule du théorème de Stokes ?

  $\oint_C \vec{A} \cdot d\vec{\ell} =$$\iint_S \vec{\text{rot}} \vec{A} \cdot d\vec{S}$