3. Altes Ägypten (Folie 103 – 136)

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Seda

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  • • Wissen über Hieroglyphen war verloren gegangen, konnte man sich mithilfe des Steins von Rosetta (196 v. Chr., dreisprachig: Hieroglyphen, demotisch, altgriechisch) erarbeiten
    • Narmer Macehead
    o dekorierter Stein aus der Zeit des Königs Narmer (31. Jhdt v.Chr.) belegt die Existenz des Dezimalsystems bereits zu Beginn des dritten Jahrt. v. Chr.
    o 1.422.000 Ziegen und 120.000 Gefangene
    o früheste Dokumentation von Zahlnotationen in Ägypten und die früheste Dokumentation von Zahlen dieser Größenordnung überhaupt
  • Symbole Ägypten
    A)
    B)
    C)
    D)
    E)
    F)
    G)
  • Verzerrung unseres Bildes durch Eigenheiten des archäologischen Befunds
    o Geografie und Klima Ägyptens geprägt durch die Wüste und den Nil
    ▪ Ausgrabungen nur in heute unbewohnten Gebieten
    ▪ Erhaltene Papyri nur in trockenen Fundstellen, nicht im feuchten Flussklima, d.h. eher in sakralen oder Bestattungskontext als im Alltagsleben
    o Moderne Mathematikgeschichte des alten Ägypten ersteht aus einem Zusammenwirken von Ägyptologie und Mathematik
  • Merkmale der entwickelten altägyptischen Mathematik
    o Dezimalsystem, aber ohne Positionsdarstellung; jede Zehnerpotenz hat ein eigenes Zeichen
    o Multiplikation und Division werden algorithmisch auf Additionen zurückgeführt
    o Bruchrechnung erfolgt nur mit Stammbrüchen, z.B. 2/n-Tabelle, Multiplikationstabellen
    o Mathematische Probleme als Aufgaben mit “Algorithmen”, die mit konkreten Zahlen vorgeführt werden
    o Volumen- und Flächenberechnungen
  • Zwei wichtige Quellen
    o Vermutlich handelt es sich um Texte zur Ausbildung von ägyptischen Schreibern/Verwaltungsbeamten
    o Der mathematische Papyrus Rhind
    ▪ Geschrieben von Ahmes um 1650 v. Chr., aber rekapituliert mathematisches Wissen von ca. 1800 v. Chr.
    ▪ Benannt nach Ankäufer, der es 1858 erwarb, ausgestellt im British Museum
    ▪ Enthält 87 mathematische Probleme und 2/n-Tabelle
    ▪ Enthält Einleitung/Präambel
    o Der mathematische Papyrus Moskau
    ▪ Aus der Zeit um 1850 v. Chr.
    ▪ Enthält 25 mathematische Probleme
  • • Hieratische Zahlen und ihre Hieroglyphen
    o Hieroglyphen in Stein, sehr uniform
    o Hieratische Zahlen auf Papyri, große Variationen je nach Schreiber und Ligatur
    o Unterschied etwa so wie gedruckte Schrift und Handschrift
    o Beim Umgang mit Quellen in der Regel erst eine Übersetzung der Handschrift in Hieroglyphen, und dann weiter ins Englische
  • • Multiplikation als Addition, Beispiel aus pRhind, Multiplikation 80 x 14
    o Aufteilen der Multiplikation in mehrere einfachere Rechnungen, dann Addition der relevante Zwischenwerte
    o Erst 80 mal 10, ist einfach, weil die Symbole nur durch das nächstgrößere Symbol ersetzt werden müssen
    o Dann Verdopplung von 80, nochmal Verdopplung
    o Immer durch Zusammenfassen der Symbole und Ersetzen, wo nötig
  • • UC 32159
    o Papyrusfragment
    o Gibt unabhängige Dokumentation der 2/n-Tabelle des pRhind
  • 2/n-Tabelle
    o deutet einen Stammbruch durch ein darüber gesetztes Zeichen (schmales, spitzes Oval) an
    o Transliterationskonvention nach Neugebauer: Darstellung von Stammbrüchen durch über die Zahl gesetzten waagerechten Strich
    o Enthält Darstellung der Brüche 2/n mit n ungerade als Summe von Stammbrüchen
    o In Spalte 1 steht n
    o Spalte 2 enthält ersten Stammbruch b1, recht groß gewählt, und die Zahl nb1
    o Den nächsten Stammbruch erhält man dann durch b2=b_2=2−nb1n \frac{2-nb_1}{n}
  • Stammbrüche 2/n Tabelle - Mysterium
    o die Frage, nach welchem Prinzip die Stammbrüche konstruiert oder gewählt wurden ist ungelöst (wahrscheinlich unlösbar)
    das Problem der mathematischen Rekonstruktion
    o mathematische Rekonstruktion: der Versuch, die 2/n-Tabelle durch Angabe eines Algorithmus oder einer Menge von Regeln zu erzeugen
    o bis jetzt gibt es keinen Algorithmus, der die gesamte Tabelle erklärt
  • Ansatz 1 Stammbrüche
  • Ansatz 2 Stammbrüche
  • • Approximation für π?
    o Die Notation π für das Verhältnis von Umfang und Durchmesser stammt aus dem 18. Jhdt (Jones, Euler)
    o Die Irrationalität wurde 1761 durch Johann Heinrich Lambert bewiesen
    o Die Transzendenz (dass pi nicht Lösung einer algebraischen Gleichung ist) wurde 1882 von Ferdinand Lindemann bewiesen (was die Quadratur des Kreises unlösbar macht)
    o Trotzdem gibt es eine Tradition, die Geschichte der Zahl pi und von Verfahren zu ihrer approximativen Berechnung zu erzählen (z.B. über n-Ecke)
  • • Berechnung der Kreisfläche eines Kreises mit Durchmesser d im pRhind
    o Multiplikation von d mit 1/9
    o Subtraktion von 1/9 * d von d
  • • 𝜋 und die Pyramiden?
    o Bei einer (!) der drei berühmten Pyramiden von Gizeh (Cheops) hat man gefunden, dass bei den noch erhaltenen Resten gilt: Umfang / Höhe = 6.28571 = 2 x 3.141871
    o Später durch genauere Messungen weniger genaue Übereinstimmung, trotzdem entstand daraus eine pseudo-wissenschaftliche “Pi-Ramidologie”
    o Kein Zusammenhang mit dem in pRhind bezeugten Verfahren der Berechnung von Seitenflächen
    o Vermutlich Zufall
  • ägyptische Methode zur Volumenberechnung eines Pyramidenstumpfes
  • Was davon wussten die Ägypter?
    o Es ist nicht unwahrscheinlich, dass die ägyptischen Mathematiker dieses Ergebnis im Wesentlichen kannten
    o Quellenlage ist leider viel zu dünn, um eine fundierte Meinung hierüber zu bilden
    o Klar ist außerdem, dass die obige algebraische Ableitung der modernen Formel so gut wie gar nichts mit der ägyptischen Denkweise und Art, Mathematik zu betreiben, gemeinsam hat