6. Mathematik im italienischen Spätmittelalter

• • Die norditalienischen Städte Pisa, Genua, Venedig, Mailand, Florenz wurden im 12. und 13. Jhdt. zu Zentren des Handels zwischen der arabischen Welt und Europa

  • Italienische Kaufleute reisten in den Orient und lernten die dortige Kultur und Wissenschaft kennen

  • In den norditalienischen Städten entwickelte sich gleichzeitig ein Kaufmannskapital und frühe Formen eines Handelskapitalismus

  • Praktische Rechenaufgaben entstanden somit vor allem auch im ökonomischen Leben mit Fragen von Kapitalberechnungen, Zinsaufgaben, Erbangelegenheiten, etc., es entwickelte sich ein eigener Berufsstand dafür
• Biografie Leonardo da Pisa, ca. 1170 – 1250

  o Stammte aus der Bonacci-Familie, nannte sich filio Bonacci, was später Fibonacci abgekürzt wurde

  o Lernte die Mathematik der Araber schon als Knabe kennen: reiste mit seinem Vater , dem Sekretär der Republik von Pisa, nach Ägypten, Syrien, Sizilien, Byzanz

  o Studierte in Nordafrika und lernte dort sowohl die klassische griechische Mathematik als auch die praktischen Vorteile des hindu-arabischen Zahlensystems kennen

  o brachte auch die rhetorische Algebra nach Europa mit

  o wirkte ab 1200 in Pisa
• o Erhaltene Werke Leonardos

  ▪ Liber abaci (1202, zweite Auflage 1228): dort erklärt und propagiert er das indo-arabische Zahlensystem

  ▪ Practica geometriae (1220)

  ▪ drei weitere kleinere Schriften

  ▪ ein Werk über Irrationalitäten, begründet auf dem 10. Buch der Elemente Euklids, ging verloren
• • Practica Geometriae (1220)

  o finden sich viele Ergebnisse der griechischen und islamischen Geometrie (z.B. die Verdopplung des Würfels)

  o Leonardo verband praktische Messungsprobleme in der Tradition Herons mit theoretischer Geometrie im Stil von Euklid und Archimedes
• Liber Abaci (1202)

  o Besteht aus 15 Kapiteln (beginnt simpel, die letzten beiden sehr fortschrittlich)

  o Durch das Liber Abaci wurden die indisch arabischen Zahlen allmählich in Europa eingeführt

  o Fibonacci erklärt, wie die römischen Zahlen in indisch-arabischer Schreibweise aussehen

  o Enthält Additions- und Multiplikationstabellen für das kleine 1+1 und das kleine 1*1
• Fingerrechnen zur Unterstützung

  ▪ Eindeutige Darstellung der Zahlen bis 9999 mit zwei Händen wird erläutert

  ▪ (digitus = Finger)

  ▪ Einer: kleiner, Mittel-, Ringfinger der linken Hand

  ▪ Zehner: Daumen und Zeigefinger der linken Hand

  ▪ Hunderter: kleiner, Mittel-, Ringfinger der rechten Hand

  ▪ Tausender: Daumen und Zeigefinger der rechten Hand
• o Neunerprobe

  ▪ Idee: Restklassenarithmetik: Rechnungen (+, -, *) müssen auch modulo einer beliebigen Zahl richtig sein

  
• Neuner- und Elferprobe, da Quersumme (mod 9) und alternierende Quersumme (mod 11) leicht zu berechnen sind

  ▪ Richtigkeit der Rechnungen in der Restklassenarithmetik ist notwendig, aber nicht hinreichend

  • Neunerprobe versagt bei Gleichheit mod 9

  • Elferprobe versagt bei Gleichheit mod 11

  • Kombination ist besser, versagt bei Gleichheit mod 99

  
• Leonards rhetorische Algebra

  ▪ Anwendungen des Pythagoras

  ▪ Lineare und quadratische Gleichungen nach al-Khwarizmi (6 Arten quadratischer Gleichungen)

  ▪ Bezeichnungen: quadratus (census) für x^2, radix für x, numerus für Zahl

  ▪ Lösung durch quadratische Ergänzung, ebenfalls mit geometrischer Figur

  ▪ Negative Zahlen werden manchmal zugelassen und dann als Schulden interpretiert
• Fibonacci-Zahlen

  ▪ Kaninchenproblem

  ▪ Quotient zwei aufeinanderfolgender Folgenglieder nähert sich dem goldenen Schnitt

  ▪ Nur kleines Seitenproblem im ganzen Werk

  ▪ Hauptintention und Bedeutung des Werks liegt in der Einführung der indo-arabischen Zahlen und ihrer Verwendung, vor allem im kaufmännischen Kontext

  ▪ Diese Art von Verzerrung ist nicht untypisch für die mathematische Geschichtsschreibung
• Erfindung des Buchdrucks (Folie 431 – 441)

  • Einschneidendes Ereignis in der Wissenschaftsgeschichte

  o Johannes Gutenberg um 1400 als Johannes Gensfleisch in Mainz geboren

  o zwischen 1434 und 1444 längerer Aufenthalt in Straßburg, wo auch schon Vorarbeiten zum Buchdruck geleistet werden

  o ab 1448 nachweislich in Mainz, unternimmt mit Finanzierung durch den Mainzer Advokaten Johannes Fust das Großprojekt des Druckes von 180 vollständigen Bibeln
• Erfindunge(en) des Buchdrucks

  o Entstehung des Buchdrucks war keine einzelne Erfindung, sondern bestand in einer Vielzahl von Einzelinnovationen zusammen mit einem Großprojekt zur ökonomischen Durchsetzung der neuen Technologie

  o Charakteristikum: Massenvervielfältigung von Texten mittels beweglicher, metallener Lettern
• Dafür erforderlich (jeweils vieles zu bedenken):

  ▪ Techniken zur Herstellung der Lettern (100.000 Lettern für B42)

  ▪ Legierungen für die Bleilettern

  ▪ Druckerschwärze

  ▪ Farbauftrag (Druckerballen)

  ▪ Mechanik der Herstellung des Satzspiegels (Satzkästen, etc.)

  ▪ Bau und Wartung der Druckerpresse (Technologie der Weinherstellung)

  ▪ Papierherstellung, -aufarbeitung und -nachbearbeitung
• Gutenberg-Bibel

  o in lateinischer Sprache, 42 zeilig (“B42”)

  o 180 Exemplare hergestellt in drei Jahren zwischen 1452 und 1454, davon 40 auf Pergament, die anderen auf Papier; heute weltweit noch erhalten 49 Exemplare (zwei davon in Mainz)

  o nachträgliche Kolorierung mit Hand

  o Für manuelle Abschrift einer Bibel ca. 3 Jahre, Gutenberg druckte in dieser Zeit 180 Exemplare mit ca. 20 Mitarbeitern, also 10% der Herstellungskosten pro Exemplar
• o Inkunabeln (lat. incunabula: Wiege, Windel) oder Wiegendrucke sind die frühesten Erzeugnisse der Buchdruckerkunst

  o Als Inkunabel werden mit beweglichen Lettern gedruckte Schriften bezeichnet, die zwischen der Mitte der 15. Jahrhunderts und dem 31.12.1500 erzeugt worden sind

  o Die Gutenbergbibel, die zwischen 1452 und 1454 gedruckt wurde, gilt als erster vollständiger Inkunabeldruck

  o Weltweit sind ca. 550.000 Exemplare von ca. 27.500 verschiedenen Werken erhalten

  o weltweit größte Inkunabelsammlung besitzt die British Library; in Deutschland besitzt die Bayrische Staatsbibliothek
• Ökonomische Durchsetzung

  o Zur ökonomischen Durchsetzung des Buchdrucks wurden zunächst Texte gedruckt, die einen hohen Absatzmarkt hatten

  ▪ Gutenberg-Bibel

  ▪ Ablassbriefe

  ▪ Kalender

  ▪ Donaten: lateinische Grammatiken

  o Schon im 15. Jhdt. war die Zahl der gedruckten Bücher höher als die der im gleichen Zeitraum angefertigten Manuskripte

  o Bis Ende des 15. Jhdts. gab es in den meisten Städten eine Druckerei
• Folgen der Einführung des Buchdrucks

  o Mit der Entstehung des Buchdrucks ändert sich die Geschichte des menschlichen Geistes so grundlegend, dass die Bedeutung nicht zu unterschätzen ist

  o Wissenschaftliche Erkenntnis wird einer viel größeren Zahl von Menschen zugänglich und ist auch nicht mehr lokal an einzelne Gelehrte gebunden

  o Es entstehen neue Schultraditionen und die Alphabetisierung der Bevölkerung nimmt erheblich zu
• o Wissenschaftliche Erkenntnis ist sehr viel weniger der Gefahr des Vergessens und Verlusts ausgesetzt, da publiziertes Wissen vervielfältigt in vielen Bibliotheken gelagert und gepflegt wird

  o Als Medienrevolution in der Menschheitsgeschichte ist die Einführung des Buchdrucks vergleichbar mit der Entstehung des Internets

  o Für die Mathematik in Deutschland: Adam Rieses Werk wäre ohne den Buchdruck nicht möglich gewesen
• Fra Luca Pacioli (Folie 443 – 446)

  • 1445 – 1514

  • publiziert 1494 Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita

  • dieses Werk gibt den damaligen Wissensstand in der praktischen Mathematik einschließend der Algebra umfassend wieder

  • befreundet mit Künstlern wie Leonardo da Vinci und Piero della Francesca