7. Wettkämpfe in der Mathematik

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Seda

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  • • Es entwickelte sich ein Spezialistentum von Experten, welche schwierige Aufgaben der Finanzen und Buchhaltung lösten
    • Diese Experten konkurrierten gegeneinander, und einige dieser Wettkämpfe wurden berühmt
    • Einer der bekannten Streite entwickelte sich zwischen Tartaglia und Cardano
  • • Vorgeschichte: Wettstreit zwischen Fior und Tartaglia
    o Der Bolognesische Algebraiker Scipione del Ferro (ca. 1456 - 1526) fand eine Methode, um bestimmte Gleichungen dritter Ordnung zu lösen
    o Sein Schüler A.M. Fior forderte später (1535) Tartaglia heraus, weil er glaubte, er könne Tartaglia mit dieser Geheimwaffe erledigen
    o Tartaglia gewann aber
  • • Thema des Streits
    o Es ging um einen bestimmten Typ von kubischen Gleichungen: x^3 + px = q
    o 30 Aufgaben Fiors waren dieser Art: “Ein Kaufmann verkauft ein Juwel für 500 Dukaten und macht dabei einen Gewinn, der der dritten Wurzel seiner Ausgaben für das Juwel entspricht. Wie hoch war sein Gewinn?”
    o Also x^3 + x = 500
    o Haben praktischen Kontext, sind aber eigentlich theoretisch: Kontext führt zur gewünschten Aufgabe
  • Cardano und Tartaglia
  • Nicolo Tartaglia
    A) Gedichts
  • Gerolamo Cardano
  • Kubische Ergänzung
  • Cardanos Beweis
  • Rafael Bombelli
    • 1526 – 1572
    • Bombelli zeigte, wie man mit imaginären Zahlen umgehen kann und dadurch die kubischen Gleichungen verschiedener Typen vollständig lösen konnte
    --> L'algebre (1572) geschrieben
  • L’algebre (1572)
    o Zahlengrößen waren noch wenig abstrakt, bei Unbekannten ist erstmal nicht klar, welche Rechenregeln gelten
    o Enthält Bezeichnungen für diverse Wurzeln und dazugehörige Abkürzungen
    o Beschreibt an diversen Beispielen z.B. die Multiplikation einer Quadratzahl mit einer Zahl
    o Hier findet sich zum ersten Mal im Druck eine Art Notation für Potenzen, mit Bezeichnungen für die Potenzen
    o Multiplikationsregel für Potenzen in tabellarischer Form mit systematischen Beispielen, allgemeine Struktur aber noch nicht explizit
  • Bombelli Rechnung für kubische Gleichungen
  • Francois Viète (Folie 465 – 475)
    • 1540 – 1603, lateinischer Name: Franciscus Vieta
    • Biografie
    o Advokat und Mathematiker, arbeitete zunächst als Rechtsberater und Privatlehrer für eine reiche Familie (Soubise)
    o später Mitglied des Parlaments in Rennes und persönlicher Berater des Königs
    o fällt zwischendurch in Ungnade und lebt zurückgezogen auf dem Land
    o gilt (mit Descartes) als Begründer der modernen Algebra wegen einiger neuer Notationen und der Einführung n-dimensionaler Größen, steht aber auch in langer Tradition
  • In artem analyticem isagoge (1591) dt: Einführung in die analytische Kunst

    o 3 Lösungsmethoden für die Analysis
    1. Zetedike: Aufstellen der Gleichung für ein Problem; Logistica numerosa; Logistica speciosa
    2. Poristike: Überprüfen, ob die Gleichungen das betrachtete Problem richtig beschreiben
    3. Exegetike: algebraische Lösungsmethoden
  • Vieta berücksichtigt das antike Homogenitätsprinzip
    o Problem in der Antike
    ▪ (kontinuierliche) geometrische Größen vs. (diskrete) Zahlen
    o stellt 16 Grundregeln für Rechenoperationen und Proportionen mit allgemeinen Größen auf
    o sein Grundgesetz war, dass homogene Größen nur mit homogenen Größen verglichen werden dürfen
    o diese Größen durften aber von (fast beliebiger) Dimension sein, wodurch die strikte Trennung von Größen unterschiedlicher Dimensionen langsam aufgehoben wurde
    o das war ein Novum des 16. Jahrhunderts
  • Viètesche Normalform
    o Vieta verwendet für die Bezeichnung von Variablen/Unbekannten Vokale, für Konstanten/Bekannten Konsonanten
    o Einführung von Buchstaben für die Bekannten ist eine Innovation von grundlegender Bedeutung, jetzt sind bekannte und unbekannte Größen gleichgestellt
    o Symbolische Algebra bedeutet, dass für Unbekannte die gleichen Rechenregeln gelten wie für Zahlen
    o Vietesche Normalform lautet dann (immer noch etwas modernisiert):
    A^n + A^(n-1)B + A(n-2)C^2 + … + AF^(n-1) = G
  • 3 Grundoperationen, um die Normalform zu erreichen
    ▪ Antithesis: beim Seitenvertauschen wechselt das Vorzeichen
    ▪ Hypobamus: Falls eine Variable überall vorkommt, kann man mittels Division den Grad des Polynoms erniedrigen
    ▪ Parabolismus: Normierung des ersten Koeffizienten
  • Zeteticorum libre qinque
    o 1593 erschien Viètes Zeteticorum libre cinque
    o es besteht aus fünf Büchern mit mathematischen Aufgaben
    o Während die Isagoge theoretische Lösungsmethoden beschreibt, behandelt dieses Werk konkrete Probleme, welche Ähnlichkeiten mit den Aufgaben in Diophants Arithmetika zeigen
  • Der Viètesche Wurzelsatz
    o 1615 erscheint posthum ein Werk De recognitione et emendatione aequationem
    o es enthält als krönenden Abschluss den Vièteschen Wurzelsatz für Gleichungen zweiter bis fünfter Ordnung
    • Hiermit erkannte Viète, dass die Koeffizienten einer allgemeinen algebraischen Gleichung sich durch die elementarsymmetrischen Funktionen der Nullstellen ausdrücken lassen
    • Die systematische Lösungstheorie algebraischer Gleichungen entwickelte sich allerdings nur langsam, und erlebte erst im 18. Jahrhundert wesentliche Fortschritte mit Vandermonde und Lagrange
  • Zusammenfassung
    o Neu: Konzept von n-dimensionaler Größe entwickelt
    o Zwar geometrisch bezeichnet, doch dreidimensionalen Fall überschritten
    o Größen mit Buchstaben bezeichnet
    o Größen standen nicht mit verallgemeinerten Zahlbegriff in Verbindung; sie repräsentierten bei Viète keine reellen oder imaginären Zahlen
    o Nachteil: unpassend für die Algebra der Zeit (Keine Darstellung negativer und komplexer Lösungen)
    o Operation der Potenzierung nicht abgeschlossen: was ist das Quadrat einer komparativen Größe?