10. Rene Descartes

• Biografie

  o als Sohn eines verarmten Adligen ausgebildet an der Jesuitenschule in La Flèche

  o lebte während des 30-jährigen Krieges und verdiente sein Geld zeitweise als Soldat

  o lebte von 1628 bis 1649 in Holland, danach trat er in die Dienste der Königin Christina von Schweden und starb 1650 an einer Lungenentzündung, evtl. vergiftet
• Descartes‘ Philosophie

  o Decartes ist vor allem bekannt als Philosoph

  ▪ “cogito ergo sum”

  ▪ Geist-Körper-Dualismus

  ▪ Rationalist/Skeptiker

  o Seine philosophischen Schriften gehören traditionell zur kanonischen Lektüre der meisten Philosophiekurrikula

  o Eine erste systematische Darstellung seiner Naturphilosophie unterdrückte Descartes, nachdem er von Galileis Verurteilung erfuhr
• Hauptwerke Descartes

  o Le Monde (1664), geschrieben 1629-1633, Theorie des Lichtes und menschliche Physiologie

  o Discours de la Methode (1637)

  o Principia Philosophiae (1644)
• • Discours de la Methode (1637)

  o In der Philosophie wird meist nur der erste Teil/die Einleitung gelesen, wo er seine Methode für den Erkenntnisgewinn beschreibt

  o Discours selbst besteht aus drei weiteren Büchern, in denen die Methode exemplifiziert wird (La Dioptrique, Les Meteores, La Geometrie)
• ▪ La Dioptrique (Optik)

  • Ableitung des Brechungsgesetzes

  Moderne Formulierung:

  $\frac{sin𝛼_1}{sin𝛼_2} =$$\frac{n_1}{n_2}$

  • mit α Einfalls-/Ausfallswinkel und n Brechungsindices

  • Bei ihm wird das Licht im optisch dichteren Medium schneller, indem beim Übergang die Vertikalkomponente der Geschwindigkeit vergrößert wird (falsch)

  • bereits unabhängig vorher gefunden von anderen
• Les Meteores (Meteorologie)

  • Erklärung des Regenbogens

  • Sonnenstrahl AB wird im Tropfen gebrochen bei B, reflektiert bei C und wieder gebrochen bei D. Der Winkel des Regenbogens (ca. 42° für den Primärbogen), ergibt sich aus der Betrachtung eines zu AB parallelen Strahlenbündels und der Berechnung des Intensitätsmaximums für die gebrochenen Strahlen DE (Beobachter ist E)
• Descartes und Frans von Schooten

  o Descartes’s Geometrie war nicht leicht zugänglich, weil sie zum einen sehr ungewöhnliche Ideen enthielt und zum anderen sehr voraussetzungsreich war (im Vergleich zur Dioptrik und Les Meteores)

  o Der niederländische Mathematiker Frans van Schooten (1615-1660) lernte Descartes 1637 kennen und las die Geometrie noch bevor sie veröffentlichte war

  o Er studierte das Werk und die Mathematiker, auf denen Descartes implizit aufbaute, und arbeitete an einer kommentierten lateinischen Übersetzung
• o Von 1645–1660 war Frans van Schooten Professor in Leiden

  o Er publizierte 1649 eine erste lateinische Ausgabe, 1659–1661 eine zweite, nochmals erweiterte kommentierte Ausgabe

  o Erst durch diese Ausgaben wurde Descartes’s Geometrie einem breiteren Publikum bekannt
• La Geometrie (1637)

  o Was wir heute mit ihm verbinden

  ▪ zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden als Koordinatenachsen, sodass alle Punkte durch Angabe der orthogonalen Abstände zu den Koordinatenachsen identifiziert werden können und Kurven durch Angabe der Koordinaten aller ihrer Punkte z.B. in Form einer Gleichung beschrieben werden können

  ▪ überhaupt systematische Untersuchungen von Kurven (analytische Geometrie) auf dieser Grundlage

  ▪ und z.B. die Deutung von Vektoren als Punkten im Koordinatensystem

  o Findet sich, zumindest nicht in dieser Form, nicht bei Descartes
• o ABER: Konvention, dass wir Unbekannte mit dem Ende und Bekannte mit dem Anfang des Alphabets bezeichnen, geht auf ihn zurück

  o Trotzdem: La Geometrie ist Geburtsstunde der modernen Mathematik

  o Geometrie und Algebra waren lange getrennte mathematische Sphären; Descartes will sie zusammenbringen
• ▪ Descartes zeigt, wie man die neue symbolische Algebra verwenden kann, um alte geometrische Probleme zu lösen und zu klassifizieren

  ▪ Das alte Problem wird zunächst in ein algebraisches umgewandelt und dann auf die Lösung einer algebraischen Gleichung reduziert

  ▪ Diese Gleichung kann dann auch mittels geometrischer Kurven gelöst werden
• ▪ Am Anfang zeigt Descartes, dass geometrische Probleme, die man auf quadratische Gleichungen zurückführen kann, immer mit Lineal und Zirkel gelöst werden können

  ▪ Nachdem er die Lösungen der drei Arten quadratischer Gleichungen angibt, beschreibt er die Fortschritte gegenüber der klassischen Geometrie
• Rolle der Algebra in La Geometrie

  ▪ Die klassische Geometrie handelte von Längen und Flächen, nicht von Zahlen.

  ▪ Wenn man eine Multiplikation von Strecken ausführte (im Sinne “geometrischer Algebra”) entstand ein Rechteck, keine Linie

  ▪ Das Rechteck als Produkt steht in keinem Verhältnis zu den Faktoren, weil durch den Dimensionssprung die Größen nicht mehr homogen sein können
• ▪ Deshalb führt Descartes eine neue Streckenrechnung ein

  ▪ Dabei geht er davon aus, dass es möglich sein muss, beliebige Größen mit einem skalierten System von Größen zu messen

  ▪ In diesem Rahmen führt er die vier arithmetischen Grundoperationen und das Wurzelziehen ein
• Geometrisches Rechnen dient zur Übersetzung der algebraischen Lösung ins Geometrische.
• Descartes' Bruch mit der antiken Tradition besteht darin, dass er eine beliebige Größe als Einheit einführt.
• Descartes wählt die Einheit frei und erreicht damit einen flexiblen Umgang mit gegebenen Größen.
• Strahlensatz

  
• Geometrische Lösung der quadratischen Gleichung$z^2 =$$az +$$b^2$

  
• o Descartes über die Vorteile seiner Methode

  ▪ Descartes diskutiert zunächst noch den hyperbolischen $z^2 =$$az +$$b^2$

  und den elliptischen Fall$z^2 =$$az - b^2$

  
  

  ▪ Schreibt dann, dass seine Lösungen einfach sind und zeigen, dass alle Probleme der gewöhnlichen Geometrie durch Anwendung dieser wenigen Dinge lösbar sind
• Kritik an der alten Analysis

  ▪ Die antiken Mathematiker haben das Prinzip nicht verstanden, sondern nur die Lehrsätze aufgelesen, die ihnen begegnet sind: ziemlich arrogant
• Descartes‘ Methode für die Geometrie

  ▪ Lösen geometrischer Probleme über algebraische Verfahren

  ▪ Deshalb verbinden wir die analytische Geometrie heute noch mit Descartes
• Problemlösen bei Descartes

  A) Formulierung dse geometrischen Konstruktionsproblems

  B) 1. Nimm an, das Problem, wäre bereits gelöst

  C) 2. Benenne die relevanten Strecken, bekannt, unbekannt

  D) 3. Drücke Bedingungen als Beziehung aus

  E) 4. Löse algebraischen Gleichungen

  F) 5. Übersetze zurück in geometrische Konstruktion

  
• • Bos (2001) diskutiert als Beispiel für Descartes’ analytische Methode eine Aufgabe der Teilung eines Dreiecks
  • Sie haben folgende Form: Gegeben eine gradlinig begrenzte Fläche F und einen Punkt P oder eine Gerade L. Gesucht ist eine Gerade, die durch P geht oder parallel zu L ist und die Fläche in einem gegebenen Verhältnis teilt
  • Bos‘ Beispiel ist eine der einfachsten Versionen dieses Aufgabentyps: Gegeben ein Dreieck ABC und ein Punkt D außerhalb, gesucht ist eine Gerade durch D, welche das Dreieck halbiert
• Halbierung eines Dreiecks

  
• Was sind Lösungen der geometrischen

  Aufgaben?

  • Die Lösungen der algebraischen Gleichungen können eindeutig sein, wie in unserem Flächenteilungsbeispiel.
  • Die Lösungen der algebraischen Gleichungen als Lösungen der geometrischen Konstruktionsaufgaben können auch ihrerseits Kurven darstellen.
  • Typischerweise sind die Lösungen der geometrischen Aufgaben algebraische Kurven, z.B. Kegelschnitte.
  • Um also die Methode vollständig auszubauen, muss Descartes zu der Frage Stellung nehmen, welche Kurven geometrisch konstruierbar, und also als Lösung akzeptabel sind.
• • Geometrische Kurven müssen - nach Descartes - exakt werden, während mechanische Kurven diesen Anspruch nicht erfüllen müssen.
  • Descartes unterscheidet zwischen geometrischen Kurven und mechanischen Kurven.
  • Geometrische Kurven sind durch eine algebraische Beziehung zwischen den Streckenvariablen dargestellt.
  • Gewisse Kurven jedoch (wie die archimedische Spirale oder die Quadratrix) sind nicht geometrisch, da sie durch zwei unabhängige Bewegungen, eine Drehung und eine Verschiebung, erzeugt werden.
• Descartes’ Kritik an der antiken Geometrie

  • Buch II der Geometrie beginnt mit einer Kritik an antiken Autoren wie Pappus, die keine Unterteilung der sogenannten mechanischen Kurven eingeführt hätten.
  • Er kritisiert , dass die höheren Kurven nicht weiter bezüglich ihrer Komplexität klassifiziert wurden.
  • Descartes kritisiert auch, dass antike Autoren höhere Kurven mechanisch statt geometrisch genannt hatten.
• Spirale vs. Hyperbel

  
• Descartes erläutert seinen Begriff von geometrischen Kurven mit zwei

  interessanten Beispielen.

  • Das erste Beispiel beschreibt ein Gerät zur Bestimmung beliebig vieler mittlerer Proportionalen.
  • Vorläufer: ein Instrument, das Eratosthenes von Cyrene zur Lösung des Delischen Problems verwendete.
  • Descartes führt es an dieser Stelle an, um zu zeigen, wie man durch ein System beweglicher Lineale eine Reihe von geometrischen Kurven gewinnen kann, bei der die nacheinander erzeugten Kurven immer komplizierter werden..
  • Er benutzt diese Kurven, um seine höheren Kurvenklassen zu illustrieren.
• Descartes argumentiert in folgenden Schritten:

  A._Geometrisch akzeptable sind stetige kontinuierliche Bewegungen

  B. Kurven, die gemäss A. akzeptabel sind, haben algebraische Gleichungen

  C. Kurven, die durch algebraische Gleichungen gegeben sind, können kontinuierlich punktweise konstruiert werden

  D. Wenn es eine allgemeine punktweise Konstruktion gibt, mit der alle Punkte der Kurve prinzipiell erzeugt werden könne, dann kann die Kurve durch eine koordinierte stetige Bewegung erzeugt werden (A)
• Warum sind die archimedische Spirale und die Quadratrix für Descartes nicht akzeptabel?

  • weiteres Mittel: Kurven mechanisch zu erzeugen. Diese beruht auf dem Abrollen krummer Linien auf gerade Linien durch Fäden.
  • Da aber krumme Linien nicht rektifiziert werden können, ist diese Art, Kurven zu erzeugen “mechanisch” und also nicht geometrisch zulässig.
  • Fäden sind nur zugelassen, wenn sie das Abtragen von geraden Strecken vermitteln.
  • Diese Unterscheidung wird erst hinfällig, wenn der Infinitesimalkalkül eine konsistente Möglichkeit der Rektifizierung krummer Linien liefert.