Exponentielle

• Selon la vidéo de Lumni, quel type de fonction est introduit?

  La fonction exponentielle
• Quelles sont les deux conditions que doit remplir une fonction 𝑓 pour être la fonction exponentielle?

  𝑓(0) = 1 et 𝑓′(𝑥) = ��(𝑥)
• Comment note-t-on la fonction exponentielle?

  𝑒��𝑝 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑒𝑥𝑝(𝑥)
• Quel est l'ensemble de définition de la fonction exponentielle?

  ℝ
• Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle?


  𝑒𝑥𝑝′(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑥)
• Que vaut l'exponentielle en 0?

  𝑒��𝑝(0) = 1
• Si ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑥), pourquoi ℎ est-elle dérivable sur ℝ?

  Comme produit de deux fonctions dérivables sur ℝ
• Si ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥��(��) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑥), que vaut ℎ′(𝑥)?


  0
• Si la dérivée d'une fonction est nulle, que peut-on dire de cette fonction?

  Elle est constante
• Si ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥��(��) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑥), que vaut ℎ(0)?


  1
• Pourquoi peut-on dire que 𝑒𝑥𝑝(𝑥) ≠ 0 pour tout réel 𝑥?

  Car 𝑒𝑥𝑝(𝑥) × 𝑒𝑥𝑝(−𝑥) = 1
• Si 𝑘(𝑥) = $\frac{𝑔(𝑥)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$, pourquoi 𝑘 est-elle dérivable sur ℝ?


  Quotient de deux fonctions dérivables sur ℝ
• Si 𝑘(𝑥) = $\frac{𝑔(𝑥)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$ et que 𝑔 et exp ont les mêmes propriétés, que vaut 𝑘′(𝑥)?


  0
• Si 𝑘(𝑥) = $\frac{𝑔(𝑥)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$ et que 𝑔 et exp ont les mêmes propriétés, que vaut 𝑘(0)?


  1
• Pourquoi démontre-t-on l'unicité de la fonction exponentielle?

  Pour s'assurer qu'il n'y en a qu'une
• En quelle année Jean Bernoulli a-t-il introduit les fonctions exponentielles?

  1694
• Dans quel contexte Jean Bernoulli a-t-il introduit les fonctions exponentielles?

  Dans une correspondance avec Leibniz
• Qui a utilisé le mot "exponentiel" pour la première fois?

  Leibniz
• Quelle est la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle?


  𝑒𝑥𝑝(𝑥 + 𝑦) = 𝑒𝑥𝑝(𝑥) × 𝑒𝑥𝑝(𝑦)
• Si 𝑓(𝑥) = $\frac{𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$, pourquoi 𝑓 est-elle dérivable sur ℝ?


  Quotient de deux fonctions dérivables sur ℝ
• Si 𝑓(𝑥) = $\frac{𝑒𝑥𝑝(𝑥+𝑦)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$, que vaut 𝑓′(𝑥)?


  0
• Simplifiez l'expression suivante : 𝑒𝑥𝑝(2) × 𝑒𝑥𝑝(3)


  𝑒𝑥𝑝(5)
• Simplifiez l'expression suivante : 𝑒𝑥𝑝(𝑎) × 𝑒𝑥𝑝(1 − 𝑎)


  𝑒𝑥𝑝(1)
• Simplifiez l'expression suivante : 𝐶 = 𝑒𝑥𝑝(5) × 𝑒𝑥𝑝(−2)


  𝑒𝑥𝑝(3)
• Simplifiez l'expression suivante : 𝐷 = 𝑒𝑥𝑝(2𝑥) × 𝑒𝑥𝑝(−2𝑥)


  𝑒𝑥𝑝(0)
• Simplifiez l'expression suivante : 𝐸 = 𝑒𝑥𝑝(𝑦 + 3) × 𝑒𝑥𝑝(𝑦 − 1)


  𝑒𝑥𝑝(2𝑦 + 2)
• Quelle transformation l'exponentielle effectue-t-elle sur les sommes?

  Elle les transforme en produits
• Quelle est la valeur de 𝑒𝑥𝑝(−𝑥)?

  $\frac{1}{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}$
• Quelle est la valeur de 𝑒𝑥𝑝(𝑥 − 𝑦)?

  $\frac{𝑒𝑥𝑝(𝑥)}{𝑒𝑥𝑝(𝑦)}$
• Quelle est la valeur de 𝑒𝑥𝑝(𝑛𝑥)?

  (𝑒𝑥𝑝(𝑥))𝑛
• Simplifiez l'expression suivante : $𝐴 =$$\frac{1}{(𝑒𝑥𝑝(3))^2}$


  𝑒𝑥𝑝(−6)
• Simplifiez l'expression suivante : $𝐵 =$$\frac{(𝑒𝑥𝑝(−5))^3}{𝑒𝑥𝑝(2) × 𝑒𝑥𝑝(−3)}$


  𝑒𝑥𝑝(−14)
• Simplifiez l'expression suivante : 𝐶 = (𝑒𝑥𝑝(𝑎))2 × 𝑒𝑥𝑝(3𝑎)


  𝑒𝑥𝑝(5𝑎)
• Simplifiez l'expression suivante : $𝐷 =$$\frac{𝑒𝑥𝑝(𝑥 + 1)}{𝑒𝑥𝑝(𝑥 + 2)}$


  $\frac{1}{𝑒𝑥𝑝(1)}$
• Quelle est l'expression équivalente à $exp(x) \times exp(-x)$?


  1
• Comment peut-on exprimer $exp(-x)$ en utilisant $exp(x)$?


  $\frac{1}{exp(x)}$
• Quelle est la formule pour $exp(x + y)$?


  $exp(x) \times exp(y)$
• Comment peut-on exprimer $exp(x - y)$?


  $\frac{exp(x)}{exp(y)}$
• Simplifiez l'expression $\frac{1}{(exp(3))^2}$.


  $exp(-6)$
• Simplifiez l'expression $\frac{(exp(-5))^3}{exp(2) \times exp(-3)}$.


  $exp(-14)$