LinAlg I

• Lineare Algebra


  Mathematisches Teilgebiet, das sich mit Vektoren, Matrizen und linearen Gleichungssystemen befasst
• Fibonacci Folge


  Rekursiv definierte Folge, bei der jedes Element die Summe der beiden vorherigen Elemente ist
• Aussagenlogik


  Logisches System, das sich mit Aussagen und deren Verknüpfungen beschäftigt
• Prädikatenlogik


  Logisches System, das Aussagen mit Variablen und Quantoren verwendet
• Matrix


  Rechteckiges Arrangement von Zahlen oder Symbolen in Zeilen und Spalten
• Elementare Zeilenoperationen


  Grundlegende Operationen zum Umformen von Matrizen
• Lineares Gleichungssystem


  System von linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten
• Vektorraum


  Mathematische Struktur, die Vektoren und deren Verknüpfungen erlaubt
• Unterraum


  Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum ist
• Basis


  Minimal-Erzeugendensystem eines Vektorraums
• Lineare Abbildung


  Abbildung zwischen Vektorräumen, die linear ist
• Kern


  Menge aller Vektoren, auf die eine lineare Abbildung die Null abbildet
• Bild


  Menge aller Vektoren, auf die eine lineare Abbildung abbildet
• Gruppe


  Mathematische Struktur mit einer binären Verknüpfung, die bestimmte Axiome erfüllt
• Dualer Vektorraum


  Vektorraum der linearen Funktionale auf einem gegebenen Vektorraum
• Duale Abbildung


  Lineare Abbildung zwischen dualen Vektorräumen
• Annulator


  Menge aller Vektoren, auf die eine lineare Funktionale den Wert Null liefert
• Quotientenraum


  Vektorraum, der aus Äquivalenzklassen eines Vektorraums gebildet wird
• Permutation


  Umordnung der Elemente einer endlichen Menge
• Gegenbeispiel


  Ein Gegenbeispiel zeigt, dass die Negation einer Aussage richtig ist
• A ∨ B


  Die Aussage "A oder B" (d.h. "mindestens eines von A oder B gilt")
• Die Wahrheitstabellen für A ∧ B und A ∨ B
• Aussagen mit ∨


  • ("x > 1") ∨ ("x < 2")
  • ("x < 1") ∨ ("x > 2")
• A ⇒ B


  A impliziert B, wenn gilt: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr
• Beispiele für Implikation


  • "x > 0" ⇒ "x ≠ 0"
  • "x ist eine Primzahl und ≥ 3" ⇒ "x ist ungerade"
• Implikation ist immer richtig, wenn A falsch ist
• A ⇔ B


  A und B sind logisch äquivalent, wenn (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
• Beispiele für logische Äquivalenz

  • "x^2 > 0" ⇔ "x ≠ 0"
  • ("0 = 1") ⇔ ("Alle Mathematiker haben lange Haare")
• Tautologie


  Eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt immer wahr ist
• Beispiel für Tautologie


  • "x > 1" ∨ "x ≤ 1"
• Sätze über Äquivalenz von Aussagen
• Prädikat


  Eine Aussage, die von einer (oder mehreren) Variablen x einer Menge X abhängt
• Allquantor ∀


  Aussage über alle x ∈ X
• Existenzquantor ∃


  Es gibt ein x ∈ X mit einer gewissen Eigenschaft
• Beispiele für Quantoren


  • "∀n ∈ Z: n = n^2" (falsch)
  • "∃n ∈ Z: n = n^2" (wahr)
  • "∀n ∈ Z: (n = n^2 ⇒ (n = 0) ∨ (n = 1))" (wahr)
  • "∀y ∈ R: (y ≥ 0) ⇒ (∃x ∈ R: x^2 = y)" (wahr)
• Quantoren sind nicht vertauschbar
• Beispiel für Quantoren


  • "∀x ∈ X ∃y ∈ Y: A(x,y)" (wahr)
  • "∃y ∈ Y ∀x ∈ X: A(x,y)" (falsch)
• Quantor der eindeutigen Existenz ∃!

  Es gibt genau ein x ∈ X mit einer gewissen Eigenschaft
• Beispiel für eindeutige Existenz


  • ∃!n ∈ Z: (n ∈ Z) ∧ (n ≠ 0) ∧ (n = n^2)
• ∃!x ∈ X: P(x) ist äquivalent zu (∃x ∈ X: P(x)) ∧ (∀x,y ∈ X: (P(x) ∧ P(y)) ⇒ x = y)