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• ¿Cuál es la función definida en el estudio?


  La función es \(f(x) = 2x + 1\)
• ¿Qué valores de \(x\) se utilizan para la tabla de valores de \(f(x)\) cerca de 2?

  • 1.9
  • 1.95
  • 1.99
  • 2.01
  • 2.05
  • 2.10
• ¿Qué valor de \(f(x)\) corresponde a \(x = 1.9\)?

  El valor es 4.80
• ¿Qué valor de \(f(x)\) corresponde a \(x = 2.05\)?

  El valor es 5.10
• ¿Qué valor de \(f(x)\) corresponde a \(x = 2.10\)?

  El valor es 5.20
• ¿Cuál es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a -4?


  \(\lim _{x \rightarrow -4} f(x)\)
• ¿Cómo se define informalmente el concepto de límite de una función \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a un número \(a\)?

  • \(f(x)\) se aproxima a un número \(L\) al tomar \(x\) cerca de \(a\) (pero diferente).
  • El límite es \(L\) si \(f(x)\) puede hacerse arbitrariamente próximo a \(L\) desde ambos lados de \(a\).
• ¿Qué significa la notación \(x \rightarrow a^{-}\)?

  Indica que \(x\) tiende al número \(a\) por la izquierda.
• ¿Qué significa la notación \(x \rightarrow a^{+}\)?

  Indica que \(x\) tiende al número \(a\) por la derecha.
• ¿Qué significa la notación \(x \rightarrow a\)?

  Indica que \(x\) tiende a \(a\) desde ambos lados.
• ¿Qué son los límites laterales en el contexto de una función \(f(x)\)?

  • Límite por la izquierda: \(\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x) = L_{1}\)
  • Límite por la derecha: \(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) = L_{2}\)
• ¿Qué se dice si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales?


  Se dice que \(L\) es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\).
• ¿Qué condiciones se requieren para que exista un límite de una función \(f\) cuando \(x\) tiende a \(a\)?

  Depende de si \(f\) está definida para \(x\) cerca de \(a\), no de si está definida en \(a\).
• ¿Cuáles son los comportamientos asociados a la no existencia de un límite?

  1. \(f(x)\) se aproxima a números diferentes por la derecha y por la izquierda.
  2. \(f(x)\) aumenta o disminuye sin límite al acercarse a \(c\).
  3. \(f(x)\) oscila entre dos valores fijos al acercarse a \(c\).
• ¿Por qué no existe el límite \(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\) para \(f(x) = \frac{|x|}{x}\)?

  Porque \(f(x)\) toma valores diferentes dependiendo de si \(x\) es positivo o negativo.
• ¿Qué valores toma \(f(x) = \frac{|x|}{x}\) dependiendo del signo de \(x\)?

  • \(f(x) = 1\) si \(x > 0\)
  • \(f(x) = -1\) si \(x < 0\)
• ¿Qué se observa en la gráfica de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 0?


  Que \(f(x)\) crece sin límite.
• ¿Qué se concluye sobre el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 0?

  • El límite no existe porque \(f(x)\) no se aproxima a ningún número real \(L\).
• ¿Qué se observa en la tabla de valores de \(\operatorname{sen} \frac{1}{x}\) cuando \(x\) se aproxima a 0?

  Oscila entre 1 y -1.
• ¿Qué se concluye sobre el límite de \(\operatorname{sen} \frac{1}{x}\) cuando \(x\) se aproxima a 0?

  • El límite no existe.
• ¿Cuál es el límite por la izquierda de la función \(f(x)\) definida por partes en \(x = 5\)?

  \(\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x) = 7\)
• ¿Cuál es el límite por la derecha de la función \(f(x)\) definida por partes en \(x = 5\)?

  \(\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x) = 5\)
• ¿Qué se concluye si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son diferentes en \(x = 5\)?

  Se concluye que el límite no existe en \(x = 5\).
• ¿Cuáles son las funciones que tienen límites inmediatos que pueden calcularse por sustitución directa?

  1. Función polinomial: \(\lim _{x \rightarrow a} P(x) = P(a)\)
  2. Función racional: \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(a)}{Q(a)}\) (si \(Q(a) \neq 0\))
  3. Función radical: \(\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a}\) (si \(n\) es impar para todo \(a\) o \(n\) es par para \(a > 0\))
• ¿Qué es un límite en matemáticas?

  Es el valor que una función se aproxima a medida que la variable independiente se acerca a un valor específico.
• ¿Cuáles son las definiciones de límites laterales?


  • \(\lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)\): Límite cuando \(x\) se aproxima a \(c\) desde la izquierda.
  • \(\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)\): Límite cuando \(x\) se aproxima a \(c\) desde la derecha.
• ¿Cuál es la función dada en el estudio de límites?


  La función es \(f(x)= \begin{cases}x+2, & x \leq 5 \\ -x+10, & x>5\end{cases}\)
• ¿Cuál es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 5 desde la izquierda?


  \(\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x)=7\)
• ¿Cuál es el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 5 desde la derecha?


  \(\lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)=5\)
• ¿Qué se puede concluir sobre los límites laterales de \(f(x)\) en \(x=5\)?


  \(\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 5^{+}} f(x)\)
• ¿Cuáles son los tipos de funciones que tienen límites inmediatos que pueden calcularse por sustitución directa?

  1. Función polinomial: \(\lim _{x \rightarrow a} P(x)=P(a)\)
  2. Función racional: \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}\) (si \(Q(a) \neq 0\))
  3. Función radical: \(\lim _{x \rightarrow a} \sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{a}\)
  4. Función compuesta: \(\lim _{x \rightarrow a} f \circ g=\lim _{x \rightarrow a} f(g(x))=f(L)\) si \(\lim _{x \rightarrow a} g(x)=L\) y \(f(x)\) es continua en \(L\).
• ¿Cuáles son los límites inmediatos para funciones trigonométricas?


  • \(\lim _{x \rightarrow a} \sin(x)=\sin(a)\)
  • \(\lim _{x \rightarrow a} \cos(x)=\cos(a)\)
  • \(\lim _{x \rightarrow a} \tan(x)=\tan(a)\)
  • \(\lim _{x \rightarrow a} \cot(x)=\cot(a)\)
  • \(\lim _{x \rightarrow a} \sec(x)=\sec(a)\)
  • \(\lim _{x \rightarrow a} \csc(x)=\csc(a)\)
• ¿Cómo se calcula el límite de \(7x - 9\) cuando \(x\) se aproxima a 4?

  \(\lim _{x \rightarrow 4}(7x-9)=7(4)-9=28-9=19\)
• ¿Cómo se calcula el límite de \(x^{2}+3x-1\) cuando \(x\) se aproxima a -2?

  \(\lim _{x \rightarrow -2}(x^{2}+3x-1)=(-2)^{2}+3(-2)-1=4-6-1=-3\)
• ¿Cómo se calcula el límite de \((5x-8)^{9}\) cuando \(x\) se aproxima a 2?


  \(\lim _{x \rightarrow 2}(5x-8)^{9}=(5(2)-8)^{9}=(10-8)^{9}=2^{9}=512\)
• ¿Cómo se calcula el límite de \(\frac{7-2x}{4x^{2}-5x+3}\) cuando \(x\) se aproxima a -1?


  \(\lim _{x \rightarrow -1} \frac{7-2(-1)}{4(-1)^{2}-5(-1)+3}=\frac{7+2}{4+5+3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)
• ¿Cómo se calcula el límite de \((4x-2)^{(x^{3}+2)}\) cuando \(x\) se aproxima a 0?


  \(\lim _{x \rightarrow 0}(4x-2)^{(x^{3}+2)}=(-2)^{2}=4\)
• ¿Cuál es el límite de una constante cuando \(x\) se aproxima a un número real \(a\)?


  \(\lim _{x \rightarrow a} b = b\)
• ¿Cuál es el límite de \(x\) cuando \(x\) se aproxima a un número real \(a\)?


  \(\lim _{x \rightarrow a} x = a\)
• ¿Cuál es el límite de \(x^{n}\) cuando \(x\) se aproxima a un número real \(a\)?


  \(\lim _{x \rightarrow a} x^{n} = a^{n}\)