Quadratische Funktionen

• Der Graph der quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung y=x² heißt Normalparabel 


  Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt S(0\0) im Koordinatenursprung.

  Sie ist nach oben geöffnet und verläuft symmetrisch zur y-Achse.

  Wird die Normalparabel an der x-Achse gespiegelt, erhält man eine nach unten geöffnete Parabel mit der Funktionsgleichung y=-x²
• Scheitelpunktform einer verschobenen Normalparabel

  Wird die Normalparabel längs der x-Achse um xS Einheiten und längs der y-Achse um yS Einheiten verschoben, lautet die neue Funktionsgleichung y=(x-xS)² + yS.

  Ist die längs der x-Achse um xS Einheiten und längs der y-Achse i, yS Einheiten verschobene Normalparabel nach unten geöffnet lautet die neue Funktionsgleichung y=-(x-xS)² +yS.

  Man spricht von der Scheitelpunktform, weil man den Scheitel S(xS\yS) direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kann.
• Scheitelpunktform und Normalform

  Multipliziert man das Binom in der Scheitelpunktform aus und fasst zusammen, so erhält man die Normalform y=x²+px+q

  Jede quadratische Funktion in Normalform kann durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform übergeführt werden
• Nullstellen einer quadratischen Funktion

  Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Schnittstellen der Parabel mit der x-Achse.

  Eine Parabel kann zwei, eine oder keine Nullstellen haben.

  Die Nullstellen der quadratische Funktion y=x²+px+q sind die Lösungen der quadratischen Gleichung x²+px+q=0.

  
• Aufstellen der Funktionsgleichung einer Parabel durch zwei Punkte

  
  

  Die Funktionsgleichung einer verschobenen Normalparabel kannst du rechnerisch durch zwei Punkte A und B der Parabel ermitteln.

  Vorgehen:

  • Setze die Koordinaten der beiden Punkten in y=x²+px+q ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen p und q.
  • Löse das Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl.
  • Setze die berechneten werte für p und q in y=x²+px+q ein.

  Hinweis: Ist die Normalparabel nach unten geöffnet, musst du die Funktionsgleichung y=-x²+px+q als Ausgangsgleichung verwenden.

• Schnittpunkte von Parabeln und Geraden

  • Eine Gerade und eine Parabel oder zwei Parabel können zwei Schnittpunkte, einen Schnittpunkt oder keinen Schnittpunkt haben.
  • Die Koordinaten der Schnittpunkte erfüllen beide Funktionsgleichungen.

  Die x-Koordinate werden durch gleichsetzen der Funktionsterme berechnet. Die y-Koordinaten werden durch Einsetzen der berechneten x-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen berechnet.