Teoría de Números

• Un número es cuadrado perfecto cuando resulta ser el resultado de elevar al cuadrado algún número entero. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es siempre un número entero
• Propiedades de los cuadrados perfectos:

  • Un número n es cuadrado perfecto si y sólo sí, en su factorización tiene todos exponentes pares. Además el 1 es cuadrado perfecto.
  • Un número n es cuadrado perfecto si y sólo sí tiene una cantidad impar de divisores positivos.
  • Todo cuadrado perfecto es de la forma 4.k o 4.k+1 y de la forma 3.k o 3.k+1.
• Si n es un cuadrado perfecto entonces n^2 = m^2 donde m es un número entero. Entonces n=m o n=-m
• La suma de dos cuadrados perfectos puede ser un cuadrado perfecto o no
• Propiedades de los cuadrados de números según su último dígito:

  • Si el último dígito es 0, el cuadrado termina en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado
  • Si el último dígito es 1 o 9, el cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4
  • Si el último dígito es 2 u 8, el cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un número par
  • Si el último dígito es 3 o 7, el cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4
  • Si el último dígito es 4 o 6, el cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un número impar
• • Si el último dígito de n es 5, el n^2 termina en 25 y los dígitos precedentes forman un número par
• Ningún cuadrado perfecto entero acaba en 2, 3, 7 ni 8
• Números primos que se pueden escribir como suma de dos cuadrados:

  Sea n un entero positivo, entonces la ecuación x 2 + y2 = n, tiene soluciones enteras si y sólo sí, en la factorización en números primos de n, todos los primos de la forma 4k+3 aparecen con exponente par.
• La cantidad de cuadrados perfectos que hay entre 1 inclusive y k es [√k], los corchetes indican que se debe tomar solamente la parte entera de √k.

  Por ejemplo, entre 1 y 58 hay [√58] = 7
• La cantidad de cubos perfectos que hay entre 1 inclusive y k es [√k 3 ], los corchetes indican que se debe tomar solamente la parte entera de √k 3 .

  Por ejemplo, entre 1 y 200 hay [√200 3 ] = 5
• Vamos a suponer que tenemos que contar la cantidad de cuadrados y cubos perfectos que hay entre 1 y A.

  En ese caso:

  Cuadrados perfectos: [√A] =B.

  Cubos perfectos: [3√A ] = C.

  Pero cuidado, porque algunos son cuadrados y cubos perfectos al mismo tiempo. Ellos son las potencias sextas. Entonces para saber cuántos están repetidos debemos calcular:

  [6√A ] = E.

  Finalmente, la cantidad de cuadrados y cubos perfectos que hay entre 1 y A inclusive es: B + C – E = D.