1. Halmazok

    Cards (35)

    • halmaz: alapfogalom, nem definiáljuk
    • A=B, ha elemeik megegyeznek
    •  speciális halmaz: ∅ - üreshalmaz
    • Részhalmaz:
      A⊆B - A minden eleme a B-nek is eleme (A⊆A, B⊆B)
      A⊂B - Valódi részhalmaz (nem egyenlő vele)
    • Ha |A| = n, akkor 2n2^n db részhalmaza van
      BIZ: vagy benne van, vagy nem - igaz/hamis
    • Egy n elemű halmaznak hány db k elemű részhalmaza van?
(nk)\binom{n}{k}tehát (n0)+\binom{n}{0} +(n1)+ \binom{n}{1} +...+ ... +(nn)= \binom{n}{n}=2n2^n
    • Unió: ABA\cup B - Az a halmaz, melynek elemei az A és B közül legalább az egyiknek elemei
    • Metszet: ABA\cap B - Az a halmaz, melynek elemei az A-nak és B-nek is elemei
      Ha üres, diszjunkt halmazok
    • Különbség: ABA\setminus B - A-nak eleme, de B-nek nem
    • Speciális: Ha U az alaphalmaz, akkor a B komplementere Bˉ=\bar{B}=UBU\setminus B
    • kommutatitivitás - felcserélhetőség
    • asszociativitás - csoportosíthatóság
    • Disztributivitás - példa:
    • De Morgan-azonosság
    • Szitaformula, véges halmazok számosságára érvényes
    • adott ponttól adott távolságra levő pontok halmaza
      síkban: kör
      térben: gömb
    • adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmaza
      síkban: két || egyenes
      térben: hengerfelület
    • két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza
      szakaszfelező merőleges
    • három adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza
      • ha egy egyenesre esnek nincs, ha nem, a háromszög felezőegyeneseinek metszéspontja
      • térben hasonló, síkokban van
    • Két adott metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a két szögfelező
    • asszociatív
      (AB)C=(A\cup B)\cup C=A(BC)A\cup( B\cup C)
    • Két ponttól egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a térben a szakasz felezõmerõleges síkja.
    • Két párhuzamos egyenestõl egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkban olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos és távolságukat felezi: középpárhuzamos
    • Egy egyenestõl és egy rajta kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkon: a parabola.
      Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese (direktrixe), a pont és az egyenes távolsága a parabola paramétere.
    • Három egyenestõl egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkon:
      • Ha a 3 egyenes párhuzamos, akkor üres halmaz.
      • Ha 2 egyenes párhuzamos (e a f), egy pedig metszi õket (g), akkor a 2 párhuzamos egyenes középpárhuzamosán két olyan pont, amelyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire.
      • Ha a 3 egyenes 3 különbözõ pontban metszi egymást, akkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontjai. 4 ilyen pont van, az egyik a háromszög beírt körének, 3 pedig a háromszög hozzáírt köreinek középpontja.
      • Ha a 3 egyenes egy pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont, a 3 egyenes metszéspontja.
    • Halmazműveletek
      1. Melyik csoport melyiknek részhalmaza?
      2. Ki kinek adhat vért?
      3. Melyik országban hivatalos nyelv az angol vagy a német?
      4. Ki vizsgázik kémiából és biológiából is?
    • Függvények
      Értelmezési tartomány, értékkészlet
    • Egyenletek értelmezési tartománya
      Számhalmazok metszete
    • Koordináta-geometria
      Kör, parabola, ellipszis, hiperbola egyenletei
    • Látókörív
      • Egy téglalap egyik oldala a szomszédos oldal mely pontjából látszik a legnagyobb szögben
    • Szerkesztési feladatok

      1. Háromszög szerkesztése egy oldal, a vele szemközti szög és az oldalhoz tartozó magasság ismeretében
      2. Adott pont és egyenes, szerkesszük meg az egyenest érintő, a ponton áthaladó, adott sugarú köröket
    • Alkalmazások
      • Parabolaantennák
      • Közös postaláda két tanya között
    • Halmazok szemléltetése
      Először Euler (1707–1783) német matematikus használt köröket
    • Venn-diagram
      Venn (1834–1923) angol matematikus finomította Euler jelölésrendszerét, ez a jelölés terjedt el
    • A halmazelmélet megteremtése Cantor (1845–1918) német matematikushoz fûzõdik. Kortársai többsége nem értette meg a végtelen halmazok számosságával kapcsolatos gondolatait: a természetes számok halmaza valódi részhalmaza a racionális számok halmazának, számosságuk mégis egyenlõ. Meghatározása szerint két halmaz egyenlõ számosságú, ha elemeik között kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés létesíthetõ. Hozzá fûzõdik a megszámlálható
      halmazok fogalma. A róla elnevezett Cantor-féle átlós eljárással bizonyította, hogy a valós számok nem megszámlálhatóak.
    See similar decks