1. Halmazok

• halmaz: alapfogalom, nem definiáljuk
• A=B, ha elemeik megegyeznek
•  speciális halmaz: ∅ - üreshalmaz
• Részhalmaz:

  A⊆B - A minden eleme a B-nek is eleme (A⊆A, B⊆B)

  A⊂B - Valódi részhalmaz (nem egyenlő vele)
• Ha |A| = n, akkor $2^n$ db részhalmaza van

  BIZ: vagy benne van, vagy nem - igaz/hamis
• Egy n elemű halmaznak hány db k elemű részhalmaza van?
$\binom{n}{k}$tehát $\binom{n}{0} +$$\binom{n}{1} +$$... +$$\binom{n}{n}=$$2^n$
• Unió: $A\cup B$ - Az a halmaz, melynek elemei az A és B közül legalább az egyiknek elemei
• Metszet: $A\cap B$ - Az a halmaz, melynek elemei az A-nak és B-nek is elemei

  Ha üres, diszjunkt halmazok
• Különbség: $A\setminus B$ - A-nak eleme, de B-nek nem
• Speciális: Ha U az alaphalmaz, akkor a B komplementere $\bar{B}=$$U\setminus B$
• kommutatitivitás - felcserélhetőség
• asszociativitás - csoportosíthatóság
• Disztributivitás - példa:

  
• De Morgan-azonosság

  
• Szitaformula, véges halmazok számosságára érvényes

  
• adott ponttól adott távolságra levő pontok halmaza

  síkban: kör

  térben: gömb
• adott egyenestől adott távolságra levő pontok halmaza

  síkban: két || egyenes

  térben: hengerfelület
• két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza

  szakaszfelező merőleges
• három adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza

  • ha egy egyenesre esnek nincs, ha nem, a háromszög felezőegyeneseinek metszéspontja
  • térben hasonló, síkokban van

  
• Két adott metsző egyenestől egyenlő távolságra levő pontok halmaza a két szögfelező
• asszociatív


  $(A\cup B)\cup C=$$A\cup( B\cup C)$
• Két ponttól egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a térben a szakasz felezõmerõleges síkja.
• Két párhuzamos egyenestõl egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkban olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos és távolságukat felezi: középpárhuzamos
• Egy egyenestõl és egy rajta kívül lévõ ponttól egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkon: a parabola.

  Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese (direktrixe), a pont és az egyenes távolsága a parabola paramétere.

  
• Három egyenestõl egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a síkon:

  • Ha a 3 egyenes párhuzamos, akkor üres halmaz.

  • Ha 2 egyenes párhuzamos (e a f), egy pedig metszi õket (g), akkor a 2 párhuzamos egyenes középpárhuzamosán két olyan pont, amelyek illeszkednek két metszõ egyenes (pl. e és g) szögfelezõire.

  • Ha a 3 egyenes 3 különbözõ pontban metszi egymást, akkor szögfelezõ egyeneseik metszéspontjai. 4 ilyen pont van, az egyik a háromszög beírt körének, 3 pedig a háromszög hozzáírt köreinek középpontja.

  • Ha a 3 egyenes egy pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont, a 3 egyenes metszéspontja.
• Halmazműveletek

  1. Melyik csoport melyiknek részhalmaza?

  2. Ki kinek adhat vért?

  3. Melyik országban hivatalos nyelv az angol vagy a német?

  4. Ki vizsgázik kémiából és biológiából is?
• Függvények

  Értelmezési tartomány, értékkészlet
• Egyenletek értelmezési tartománya

  Számhalmazok metszete
• Koordináta-geometria

  Kör, parabola, ellipszis, hiperbola egyenletei
• Látókörív

  • Egy téglalap egyik oldala a szomszédos oldal mely pontjából látszik a legnagyobb szögben
• Szerkesztési feladatok


  1. Háromszög szerkesztése egy oldal, a vele szemközti szög és az oldalhoz tartozó magasság ismeretében

  2. Adott pont és egyenes, szerkesszük meg az egyenest érintő, a ponton áthaladó, adott sugarú köröket
• Alkalmazások

  • Parabolaantennák
  • Közös postaláda két tanya között
• Halmazok szemléltetése

  Először Euler (1707–1783) német matematikus használt köröket
• Venn-diagram


  Venn (1834–1923) angol matematikus finomította Euler jelölésrendszerét, ez a jelölés terjedt el
• A halmazelmélet megteremtése Cantor (1845–1918) német matematikushoz fûzõdik. Kortársai többsége nem értette meg a végtelen halmazok számosságával kapcsolatos gondolatait: a természetes számok halmaza valódi részhalmaza a racionális számok halmazának, számosságuk mégis egyenlõ. Meghatározása szerint két halmaz egyenlõ számosságú, ha elemeik között kölcsönösen egyértelmû hozzárendelés létesíthetõ. Hozzá fûzõdik a megszámlálható

  halmazok fogalma. A róla elnevezett Cantor-féle átlós eljárással bizonyította, hogy a valós számok nem megszámlálhatóak.