2. Racionális és irracionális számok

• Valós számok $\mathbb{R}$: valós számegyenesen ábrázolhatóak, tizedes tört alakban kifejezhetőek
• Racionális számok $\mathbb{Q}$: két egész szám hányadosaként felírható
• A racionális számok tizedes tört alakja véges vagy szakaszos

  BIZ
• Irracionális számok: azok a valós számok, melyen nem racionálisok
• a $\sqrt{2}$ irracinális

  indirekt BIZ
• két racionális szám

  • összege: racionális
  • szorzata: racionális
• két irracionális szám

  • összege: racionális vagy irracionális
  • szorzata: racionális vagy irracionális
• Két halmaz azonos számosságú, ha elemeik párba állíthatóak / van közöttük kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés.
• $\mathbb{N}^{+}$ számossága: megszámlálhatóan végtelen, az elemek valamilyen módon sorbaállíthatóak
• $\mathbb{R}$ számossága: kontinuum számosság
• $\mathbb{N}$: természetes számok

  • pozitív egész számok + a nulla
  • szorzás és osztásra nézve zárt a halmazra nézve
  • a kivonás és osztás már kimutat a halmazból
• $\mathbb{Z}$: egész számok

  • természetes számok + ellentettjeik
  • összeadásra, szorzásra és kivonásra nézve zárt
  • osztás kimutathat belőle
• $\mathbb{Q}$: racionális számok

  • azokból a számokból áll, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, azaz $\frac{a}{b}\text{ ahol }a, b \in \mathbb{Z}, b\neq 0$
  • mind a 4 alapműveletre zárt, de van olyan egyenlet, amelynek nincs megoldása ezen a halmazon
• $\sqrt{2}$ irracionális szám


  Biz: indirekt módon, oszthatóság alapján
• A irracionális számok tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos tizedes tört.
• 2 racioniális szám

  • összege: racionális
  • szorzata: racionális
• az összeadás és a szorzás kommutatív (felcserélhetõ)

  a + b = b + a és a ◊ b = b ◊ a

  az összeadás és a szorzás asszociatív (csoportosítható)

  (a + b) + c = a + (b + c) és (a ◊ b) ◊ c = a ◊ (b ◊ c)

  a szorzás az összeadásra nézve disztributív (széttagolható)

  (a + b) ◊ c = a ◊ c + b ◊ c
• Egy A halmaz számossága az A halmaz elemeinek számát jelenti. Jele: |A|. Egy halmaz számossága lehet véges vagy végtelen.
• Racionális számok: arányok, arányosság, hasonlóság
• Irracionális számok: szabályos háromszög magassága, négyzet átlója a kör kerülete, területe
• Értelmezési tartomány, értékkészlet meghatározása
• Számírás:

  1. arab al-Hvárizmi
  2. Fibonacci 12. sz
• Pitagorasz: irracionális számok
• 16. sz, Cardano, Viéte nem értelmezték még a negatív számokat

  17. sz Descartes már használta őket
• 18. sz, Gauss: komplex számok
• 19. sz, Cantor: halmazelmélet, végtelen halmazok számossága