3. Oszthatóság, prímszámok

• Ha $a, b \in \mathbb{N}$, akkor $a$ osztható $b$-vel (jele $b\mid a$), ha létezik olyan $c \in \mathbb{N}$, hogy $a =$$c\cdot b$
• Prímek: Olyan pozitív egész, melynek pontosan 2 osztója van

  (1 és önmaga, az 1 nem prím)
• Tétel: Végtelen sok prímszám van


  Bizonyítás: indirekt módon
• Számelmélet alaptétele

  Minden összetett szám egyértelműen felbontható prímek szorzatára
• osztók száma


  a szám prímtényezős felbontásában szereplő kitevőket 1-gyel megnövelve összeszorozzuk
• a|a, 1|a, a|0

  Biz: $a=$$a\cdot 1$
• $a|b\text{ és } b|c\implies a|c$
• $a|b\implies a|b\cdot c$

  azaz ha egy egész szám osztója egy másik egész számnak, akkor a többszöröseinek is osztója.
• $a|b\text{ és } a|c\implies a|b\pm c$

  azaz ha egész egy szám osztója két egész számnak, akkor összegüknek és különbségüknek is osztója.
• $a|b\text{ és } a|b+$$c\implies a|c$

  azaz ha egy egész szám osztója egy összegnek és az összeg egyik tagjának, akkor osztója a másik tagnak is.
• Ha a, b $\mathbb{Z}^{+}$

  , és a|b valamint b|a akkor a = b, azaz ha két pozitív egész szám egymásnak osztója, akkor a két szám egyenlõ.
• • Legnagyobb közös osztó: törtek egyszerûsítése

  • Legkisebb közös többszörös: törtek közös nevezõre hozása
• Számítógépekben a 2-es számrendszer a két jegyével jól használható: folyik áram = 1, nem folyik áram = 0 (Neumann-elv). Ma már inkább a 16-os, hexadecimális számrendszert használják, ami felépíthetõ a kettesbõl.
• Prímszámok meghatározás az eratoszthenészi (Kr. e. III. század) szitával: Felírjuk 2-tõl kezdõdõen az egész számokat (õ 100-ig csinálta). A 2-t bekeretezzük, ez az elsõ prímszám, majd kihúzzuk az összes olyan számot, ami 2 többszöröse (minden másodikat). Bekeretezzük az elsõ át nem húzott számot, a 3-at, ez a következõ prímszám. Innen kezdve áthúzzuk a 3 többszöröseit (minden harmadikat). Ezt az eljárást folytatva megkapjuk a prímszámokat

  (bekeretezett számok).
• • A 12-es számrendszer nagyon népszerû volt, mert a 12 maradék nélkül osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal. A ma használtmnaptárban az év 12 hónapra oszlik, 12 óra a nappal és 12 óra az éjszaka az év mind a 365 napján. Csaknem minden nyelvben külön szó van a 12 dologból álló csoportra, például a magyar „tucat”, az angol „dozen”, a német „das Dutzend”, az orosz „djuzsina” stb.

  • Nyelvészeti kutatások szerint az õsmagyarok a hetes számrendszert ismerték, használták: mesék hétfejû sárkánya, hetedhét ország, hétmérföldes csizma, hétpecsétes titok, hétszerte szebb lett, stb.
• Összetett számok


  1-nél nagyobb, nem prímszámok