4. Matematikai logika

• A matematikai logika a gondolkodás matematikai formában kifejezhetõ, matematikai eszközökkel vizsgálható összefüggéseinek, törvényeinek feltárásával foglalkozik. Fõ feladata a következtetések helyességének vizsgálata.
• Az állítás (vagy kijelentés) olyan kijelentõ mondat, amelyrõl egyértelmûen el lehet dönteni, hogy igaz vagy hamis.
• Az igaz és a hamis a kijelentés logikai értéke.

  Ha az A állítás igaz, a B állítás hamis, akkor úgy is mondhatjuk, hogy az A logikai értéke igaz, B logikai értéke hamis. Jelekkel: |A|= i és |B|= h.

  Az igaz értéket szokták 1-gyel, a hamis értéket 0-val jelölni.
• A kijelentéseket összekapcsolhatjuk. Azokat a kijelentéseket, amelyeket más kijelentésekbõl lehet elõállítani, összetett kijelentéseknek nevezzük.
• A logikai mûveleteket igazságtábla segítségével végezhetjük el.
• Egy állítás tagadásának tagadása maga az állítás (kettõs tagadás törvénye). Jele:
• Egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre igaz (ellentmondásmentesség elve).
• Egy állítás és tagadása nem lehet egyszerre hamis (a harmadik kizárásának elve).
• Állítások diszjunkciója: logikai „vagy”: Két kijelentés diszjunkciója pontosan akkor igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, különben hamis.

  Jele: $A\vee B$
• Állítások konjunkciója: logikai „és”: Két kijelentés konjunkciója pontosan akkor igaz, ha mindkét kijelentés igaz, különben hamis.

  Jele: $A\wedge B$
• Logikai műveletek tulajdonságai

  
• Állítások implikációja: A „ha A, akkor B” kapcsolatnak megfelelõ logikai mûveletet implikációnak nevezzük. Az implikáció logikai értéke pontosan akkor hamis, ha A igaz és B hamis, különben az implikáció igaz. Az A állítást feltételnek, B-t következménynek nevezzük.

  A következtetés csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, de a következmény hamis. Hamis állításból bármi következhet.

  Jele: $A\rightarrow B$
• Állítások ekvivalenciája: Az „A akkor és csak akkor B” kapcsolatnak megfelelõ logikai mûveletet ekvivalenciának nevezzük. Az ekvivalencia logikai értéke pontosan akkor igaz, ha A és B logikai értéke azonos, különben hamis.

  Ha az $A\leftrightarrow B$ igaz, akkor azt mondjuk, hogy A és B állítások ekvivalensek egymással.

  Jele: $A\leftrightarrow B$
• Igazságtábla

  A) implikáció

  B) ekvivalencia

  
• Tetszõleges A és B kijelentésekre

  $A\rightarrow B=$$\bar{A}\vee B$
• Tetszõleges A és B kijelentésekre

  $A\leftrightarrow B=$$\left ( A\rightarrow B \right ) \wedge \left ( B\rightarrow A \right )$
• Thalész-tétel: ha egy kör átmérõjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögû háromszöget kapunk.


  Thalész-tétel megfordítása: ha egy háromszög derékszögû, akkor köré írható körének középpontja az átfogó felezõpontja.
• Pitagorasz-tétel: ha egy háromszög derékszögû, akkor a befogók négyzetének összege egyenlõ az átfogó négyzetével.


  Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetének összege egyenlõ a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögû.
• • Matematikai definíciók, tételek pontos kimondása, tételek bizonyítása

  • Tétel megfordításának kimondása

  • Bizonyítási módszerek kidolgozása (direkt, indirekt, skatulyaelv, teljes indukció)

  • Kombinatorika, valószínûségszámítás használja a logikai mûveleteket és azok tulajdonságait

  • Automaták tervezése problémák részekre bontásával

  • A logikai mûveletek és halmazmûveletek párhuzamba állíthatók

  • Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldása során sokszor végzünk logikai mûveleteket (ekvivalens átalakítások).
• Boole (1815–1864) angol matematikus vezette be a kijelentések szerkezetének szimbólumokkal és mûveletekkel való leírását. Az általa létrehozott algebra célja az volt, hogy összekösse a logikát a matematikával, ez a Boole-algebra. Az 1930-as években Shannon (1916–2001) amerikai matematikus a Boole-algebrát felhasználva az elektromos kapcsolók tulajdonságait használta a logikai mûveletekhez, ez lett az elméleti alapja a digitális korszaknak, az információelméletnek.
• de Morgan (1806–1871) angol matematikus bevezette a ma De Morgan azonosságként ismert szabályokat. Ezzel nagyban hozzájárult a matematikai logika megreformálásához, jelölésrendszerének egyszerûbbé tételéhez.