5. Hatvány, gyök

• azonos alapú hatványok szorzata


  $a^{n}\cdot a^{m}=$$a^{n+m}$
• azonos alapú hatványok osztása


  $\frac{a^{n}}{a^{m}}=$$a^{n-m}\;\;\;\;\;n> m, a\neq 0$
• azonos kitevőjű hatványok szorzása


  $a^{n}\cdot b^{n}=$$(a\cdot b)^{n}$
• azonos kitevőjű hatványok osztása 


  $\frac{a^{n}}{b^{n}}=$$(\frac{a}{b})^{n}\;\;\;\;\;b\neq 0$
• hatvány hatványa


  $(a^{n})^{m}=$$a^{n\cdot m}$
• gyökfüggvény, ha n páros $\sqrt[n]{x}$

  
• gyökfüggvény, ha n páratlan $\sqrt[n]{x}$

  • páratlan
  • szig mon nő
  • kölcsönösen egyértelmű

  
• Törtkitevős hatvány

  $a^{\frac{m}{n}}=$$\sqrt[n]{a^{m}}(=(\sqrt[n]{a})^{m})$ feltételek: $n\in \mathbb{N}^{+}, n\geq 2, m\in \mathbb{Z}, a> 2$
• Permanencia-elv: egy fogalmat bővebb halmazban is szeretnénk értelmezni, de úgy, hogy az eddigi tulajdonságai megmaradjanak

  $\Rightarrow$ a hatványozás azonosságai érvényesek maradnak
• Ha $a$ tetszõleges valós szám és $n$ 1-nél nagyobb természetes szám, akkor $a^{n}$ hatvány

  azt az $n$ tényezõs szorzatot jelenti, amelynek minden tényezõje $a$.

  Ha $n=$$1$, akkor $a^{1}=$$a$
• Az $a$ számot a hatvány alapjának, az $n$ számot a hatvány kitevõjének nevezzük, ez utóbbi megmutatja, hogy a hatványalapot hányszor kell szorzótényezõül venni.
• • Prímtényezõs felbontásban pozitív egész kitevõjû hatványok, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, osztók száma
  • Normálalakban: egyszerûbb a kicsi és a nagy számokkal való mûveletek elvégzése
  • A számrendszerek felépítése a hatványozáson alapul
  • Mértani sorozat: an, Sn kiszámolása
  • Ismétléses variációk száma: $n^{k}$
• • Radioaktív bomlás
  • Mértékegységváltás
  • Binomiális eloszlás
  • Nevezetes azonosságok
  • Kamatos kamat számítása
• Hasonló testek felszínének aránya $\lambda ^{2}$, térfogatának aránya $\lambda ^{3}$
• Magasabb fokú egyenletek megoldása

  Pitagorasz-tétel (négyzetre emelés, gyökvonás)

  Mértani közép (gyökvonás)

  Magasság-, illetve befogótétel (négyzetre emelés, gyökvonás)

  • Kocka élének, vagy gömb sugarának kiszámolása a térfogatból
• • Már idõszámításunk kezdetén ismerték kínai matematikusok a négyzetgyök és köbgyök fogalmát, a mai jelölésrendszere a XVI. században alakult ki.
  • A XIII. századi kínai matematikusok az egyenletet meg tudták oldani, azaz tetszõleges pozitív számból tudtak gyököt vonni.
  • Oresmicus (1323–1382) francia matematikus foglalkozott elõször a törtkitevõs hatványokkal.
  • Stifel (1487–1567) német matematikus írta le a nulladik és a negatív egész kitevõjû hatványokat.