7. Másodfokú, egyenletek ekvivalenciája

• Két egyenlet ekvivalens, ha alaphalmazuk és megoldáshalmazuk is azonos.
• Vieta formula

  $x_1 +$$x_2 =$$-\frac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 =$$\frac{c}{a}$
• Gyökvesztés következhet be, ha a változót tartalmazó kifejezéssel osztjuk az egyenlet mindkét oldalát, vagy olyan átalakítást végzünk, amely szûkíti az értelmezési tartományt.
• Hamis gyököt kaphatunk, ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, vagy mindkét oldalt az ismeretlent tartalmazó kifejezéssel szorozzuk, vagy olyan átalakítást végzünk, ami bõvíti az értelmezési tartományt.
• Magasabb fokú, illetve bizonyos exponenciális, logaritmikus, abszolút értékes, gyökös, trigonometrikus egyenletek új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre vezethetõk vissza.
• gyöktényezős alak

  $a(x - x_1)(x - x_2)=$$0$
• $x =$$\frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$


  Biz: megszorozzuk 4a-val, majd teljes négyzetté alakítunk
• Az azonosság olyan egyenlet, amelynek a megoldáshalmaza megegyezik az egyenlet értelmezési tartományával.
• Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, vagyis az egyenlet megoldásainak (vagy gyökeinek) halmaza az egyenlet megoldáshalmaza (vagy igazsághalmaza).
• Az egyenletet igazzá tevõ értékek az egyenlet megoldásai vagy gyökei.
• Az egyenlet értelmezési tartománya az alaphalmaznak az a legbõvebb részhalmaza, ahol az egyenletben szereplõ kifejezések értelmezhetõek.
• Az alaphalmaz az ismeretlenek azon értékeinek halmaza, ahol az egyenletet vizsgáljuk, ahol a megoldásokat keressük.
• Az egyenlet bármely két egyenlõségjellel összekötött kifejezés. A kifejezésben szereplõ változók az ismeretlenek.

  Az egyenlet olyan változótól függõ állítás (nyitott mondat), amelynek az alaphalmaza számhalmaz.
• Egyenes, kör, parabola adott abszcisszájú vagy ordinátájú pontjának meghatározása

  Magasabb fokú egyenletek megoldása

  Pitagorasz-tétel

  Koszinusztételbõl oldal kiszámítása

  Mély szakadék mélységének meghatározása: egy ledobott kõ dobásától a szakadék alján történõ koppanás hangjának meghallásáig eltelt idõ mérésével
• Az ókori Mezopotámiából Kr. e. 2000-bõl származó ékírásos táblákon található jelek alapján tudjuk, hogy az akkori írástudók már meg tudtak oldani elsõ és másodfokú egyenleteket és egyenletrendszereket.
• Idõszámításuk kezdete körül keletkezett Kínában a Matematika kilenc fejezetben címû mû. Ennek utolsó fejezetében már megtalálható a másodfokú egyenlet megoldásának szabálya, amely azonos a ma használt megoldóképlettel.