18. Vektorok

• Az eltolás, mint egybevágósági transzformáció megadható az eltolás irányával és nagyságával,

  vagyis egy vektorral.

  Az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Jel: $\overrightarrow{AB}=$$\underline{v}$

  A: kezdõpont, B: végpont (ez szemléletes megoldás, a vektor alapfogalom, nem definiáljuk).
• A vektor abszolút értéke a vektort meghatározó irányított szakasz hossza. Jele: $\left| \overrightarrow{AB}\right|$
• Az a vektor, amelynek abszolút értéke nulla, a nullvektor. Jele: $\underline{0}$ . A nullvektor iránya tetszõleges, tehát minden vektorra merõleges, és minden vektorral párhuzamos.
• Két vektor egyirányú, ha a két vektor párhuzamos, és azonos irányba mutat.
• Két vektor ellentétes irányú, ha a két vektor párhuzamos, de ellentétes irányba mutat.
• Két vektor egyenlõ, ha egyirányúak és abszolút értékük egyenlõ.
• Két vektor egymás ellentettje, ha ellentétes irányúak és abszolút értékük egyenlõ.
• Az a és b vektorok összege annak az eltolásnak a vektora, amellyel helyettesíthetõ az a vektorral és a b vektorral történõ eltolások egymásutánja. Jele: a + b .
• Vektorok összege

  A) háromszög-szabály

  B) paralelogramma-szabály

  
• A vektorösszeadás tulajdonságai

  
• Az a - b különbségvektor az a vektor, amelyhez a b vektort adva az a vektort kapjuk. Jele: a - b .

  Az a - b és a b - a egymás ellentettjei.

  
• Egy nullvektortól különbözõ $\underline{a}$ vektor tetszõleges $\lambda$ valós számmal (skalárral) vett szorzata egy olyan vektor, amelynek abszolút értéke $\left| \lambda \right| \cdot \left| a \right|$ és $\lambda\gt 0$ esetén $\underline{a}$ -val egyirányú, $\lambda\lt 0$ esetén $\underline{a}$ -val ellentétes irányú.

  A nullvektort bármilyen valós számmal szorozva nullvektort kapunk.

  A skalárral vett szozás disztributív és asszociatív.
• Tetszõleges $\underline{a}, \underline{b}$ vektorokkal és $\alpha, \beta$ valós számokkal képzett $\underline{v}=$$\alpha \cdot \underline{a} +$$\beta \cdot \underline{b}$ vektort az a és b vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.
• Ha a és b nullvektortól különbözõ párhuzamos vektorok, akkor pontosan egy olyan a valós szám létezik, amelyre $\underline{b}=$$\alpha \cdot \underline{a}$.
• Ha a és b nullvektortól különbözõ, nem párhuzamos vektorok, akkor a velük egy síkban levõ minden c vektor egyértelmûen elõáll a és b vektorok lineáris kombinációjaként, azaz $\underline{c}=$$\alpha \cdot \underline{a} +$$\beta \cdot \underline{b}$ alakban, ahol $\alpha$ és $\beta$ egyértelmûen meghatározott valós számok. Ez azt jelenti, hogy c egyértelműen felbontható a-val és b-vel párhuzamos összetevõkre.

  A lineáris kombinációban szereplõ a és b vektorokat bázisvektoroknak nevezzük.
• A síkbeli derékszögû (x; y) koordináta-rendszer bázisvektorai az origóból az (1; 0) pontba mutató i és a (0; 1) pontba mutató j egységvektorok.
• A derékszögû koordináta-rendszerben az A(a1, a2) pont helyvektora az origóból az A pontba mutató vektor.

  
• A derékszögû koordináta-rendszerben egy vektor koordinátáinak nevezzük az origó kezdõpontú, vele egyenlõ helyvektor végpontjának koordinátáit. Jele: $\underline{a}(a_1,a_2)$.
• (Az elõbbiek alapján) a koordinátasík összes v vektora egyértelmûen elõáll i és j vektorok lineáris kombinációjaként $\underline{v}=$$v_1 \cdot \underline{i} +$$v_2 \cdot \underline{j}$ alakban. Az így meghatározott (v1, v2) rendezett számpárt a v vektor koordinátáinak nevezzük. Jele: $\underline{v}(v_1,v_2)$.
• Vektor koordinátáinak kiszámítása kezdõ- és végpontjának segítségével: $B(b_1,b_2) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(b_1-a_1,b_2-a_2)$.
• Ha a v vektor koordinátái $\underline{v}(v_1,v_2)$, akkor a vektor hossza $\left| \underline{v} \right|=$\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}.
• Két vektor szöge

  • egyállásúak: egyirányű: 0 fok, ellentétes: 180 fok
  • Nem egyállású vektorok esetén a vektorok hajlásszögén a közös pontból kiinduló vektorok félegyenesei által bezárt konvex szöget értjük.
• Tetszõleges két vektor skaláris szorzata a két vektor abszolút értékének és hajlásszögük koszinuszának szorzata: $\underline{a} \cdot \underline{b}=$$\left| \underline{a} \right| \cdot \left| \underline{b} \right| \cdot \cos\alpha$.

  kommutatív és disztributív
• Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merõleges egymásra:

  $\underline{a} \cdot \underline{b} \Leftrightarrow \underline{a} \bot \underline{b}$.
• Két vektor skaláris szorzata koordinátákkal: $\underline{a} \cdot \underline{b} =$$a_1 b_1 +$$a_2 b_2$, azaz a megfelelõ koordináták szorzatának összege.
• Két vektor skaláris szorzata koordinátákkal

  
• Vektorok bizonyításban: háromszög súlypontja harmadolja a súlyvonalakat; Euler-egyenes: a háromszög köré írható kör középpontja, súlypontja, magasságpontja egy egyenesen van és...

  Szögfüggvények tetszõleges forgásszögre történõ definiálása egységvektorok segítségéveltörténik.

  Fizikában vektormennyiségek (erõ, elmozdulás) összeadásában, felbontásában, a munka egyenlõ az erõ és az elmozdulás skaláris szorzatával.

  Skaláris szorzat: koszinusztétel bizonyítása

  Koordináta-geometriában az egyenes normálvektora, illetve irányvektora segítségével az egyenes egyenletének felírása
• Descartes: koordináta-rendszer

  Hamilton: elnevezés