ANOVA

• Prérequis


  • Statistique descriptive et décisionnelle (EC 551)
  • (Types de variable statistique, moyenne, variance, loi de probabilité, estimation, intervalle de confiance, test d'hypothèse)
  • Introduction au langage R (EC 552)
  • (Importer un jeu de données, manipuler un jeu de données, types de variable informatique, fonctions, packages)
• Vue d'ensemble de l'EC

  • Régression linéaire
  • Analyse de la Variance (ANOVA)
  • Analyse de la covariance (ANCOVA)
• Modalités d'évaluation de la partie Analyse de la Variance

  • Un projet par binôme
  • Une évaluation écrite individuelle
• Notation

  Chaque question est associée à un niveau d'objectif : Rang A ou Rang B. Chacun des deux rangs (A et B) est noté sur 20. La note finale est calculée comme suit : Note finale = 0.67 × Rang A + 0.33 × Rang B
• Quelques exemples

  • Rang A 10/20 Rang B 0/20 Note finale = 6.7/20
  • 15/20 Rang A et 0/20 Rang B Note finale = 10/20
  • 20/20 Rang A et 0/20 Note finale = 13.4/20
  • 15/20 Rang A et 10/20 Rang B Note finale = 13.35/20
  • 20/20 Rang A et 5/20 Rang B Note finale = 15.05
• Rang A

  • Mettre en œuvre une analyse de la variance via le logiciel R (évalué par le projet)
  • Interpréter les résultats d'une analyse de la variance pour prendre des décisions
  • Valider le modèle pour estimer un degré de confiance dans les décisions prises
• Rang B

  • Ecrire le modèle d'analyse de la variance avec ses hypothèses et l'estimation de ses paramètres
  • Formaliser les tests statistiques associés au modèle d'analyse de la variance : hypothèses nulles/alternatives, statistiques de test et lois de distribution associées
• Compétences

  • Analyser des problématiques complexes et anticiper les problèmes liés à leur résolution
  • Etablir un plan d'action
  • Etablir une démarche scientifique et expérimentale à partir d'un cahier des charges donné
  • Imaginer, développer et optimiser un produit ou un service
  • Intégrer la démarche d'amélioration continue répondant aux enjeux et contraintes de l'organisation
  • Évaluer la qualité et assurer la conformité d'un produit alimentaire, d'un bioproduit, d'un procédé
  • Maîtriser les outils et techniques de communication professionnelle
  • Transmettre, diffuser et discuter des informations et des connaissances
• Objectifs de l'EC

  • Etudier la relation entre une variable réponse et des variables externes
  • Conduire la modélisation d'un phénomène et en interpréter les résultats
• Les modèles linéaires "classiques"

  • Régression linéaire
  • Analyse de la Variance (ANOVA)
  • Analyse de la covariance (ANCOVA)
• Variable(s) explicative(s) (X's)

  Quantitative(s) pour la régression linéaire, Qualitative(s) pour l'ANOVA, Quantitative(s) et Qualitative(s) pour l'ANCOVA
• Objectifs (courants)


  Modélisation de la relation et prédiction pour la régression linéaire, Etude de l'influence d'un ou plusieurs facteur(s) sur Y pour l'ANOVA, Modélisation selon un ou plusieurs facteur(s) pour l'ANCOVA
• Vue d'ensemble de la partie Analyse de la Variance


  • Introduction
  • Modèles à un facteur
  • Modèle à deux facteurs sans interaction estimable
  • Modèles à deux facteurs avec interaction estimable
  • Pour aller plus loin...
• Quantifier et tester l'effet d'une ou plusieurs variables qualitatives (facteurs) sur une variable quantitative
• Expliquer la variabilité d'une variable quantitative (somme des carrés des écarts à la moyenne) par un ou plusieurs facteurs
• Les moyennes des trois modalités sont-elles différentes ?
• Dans quel cas les moyennes des trois modalités sont-elles différentes ?
• Pas d'effet du facteur sur la variable quantitative
• Effet du facteur sur la variable quantitative
• On possède trois types de viandes
• Le caractère fibreux des trois types de viande a été noté sur une échelle de 1 à 15 par 5 experts
• Les trois viandes ont-elles un caractère fibreux moyen égal ?
• Dans la négative, lesquelles sont plus ou moins fibreuses en moyenne ?
• Les experts ont-ils une perception différente du caractère fibreux en moyenne ?
• Yij


  Variable à expliquer
• μ


  Paramètre de moyenne globale
• Modèle à un facteur

  1. Yij = μ

  2. Yij = μ + αi

  3. Yij = μ + αi + εij
• εij


  Résidus, suivent une loi normale centrée réduite
• I degrés de liberté ont été utilisés pour estimer les paramètres du modèle : 1 pour estimer μ, I-1 pour estimer les αi, il en reste n-I
• Estimation de σ


  1. σ̂² = 1/(n-I) Σi=1^I Σj=1^ni (Yij - Ŷij)²

  2. σ̂² = 1/(n-I) Σi=1^I Σj=1^ni (Yij - μ̂ - α̂i)²
• Spécification de la contrainte de somme (par défaut R utilise la première modalité comme référence)
• Construction du modèle


  lm = linear model
• μ


  Estimation de la moyenne globale
• αi


  Estimation des effets du facteur
• σ


  Estimation de l'écart-type résiduel
• SCET = SCEFA + SCER
• SCET


  Somme des Carrés des Ecarts Totale
• SCEFA


  Somme des Carrés des Ecarts du FActeur = inter-niveaux = expliquée par le facteur
• SCER


  Somme des Carrés des Ecarts Résiduelle = intra-niveaux = résiduelle non expliquée par le facteur
• Sur l'exemple : 140 = 90 + 50