Mathe 4 Semester

• Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen

  • Wertetabelle
  • Funktionsgraphen (Koordinatensystem)
  • Funktionsgleichung

  
• Quadratische Funktion (Parabel)


  Allgemeine Funktionsgleichung: f(x) = ax² + bx + c
• Quadratische Funktion

  • Hat einen Tiefpunkt oder Hochpunkt
  • Ist um den Scheitelpunkt (Tiefpunkt/Hochpunkt) symmetrisch
• Koeffizienten

  • a > 0: Parabel ist nach oben geöffnet
  • a < 0: Parabel ist nach unten geöffnet
  • c: Verschiebung des Graphen entlang der y-Achse
  • b: Verschiebung "entlang" der x-Achse
• Nullstellen

  1. f(x) = 0 ⇔ ax² + bx + c = 0

  2. D > 0: Funktion hat genau 2 Nullstellen

  3. D = 0: Funktion hat genau eine Nullstelle (Doppellösung)

  4. D < 0: Funktion hat keine (reelle) Nullstellen
• Aufstellen einer quadratischen Funktion

  1. Anhand einer Wertetabelle

  2. Anhand des Graphen oder der Wertetabelle
• Funktion


  Eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem Element x aus der Definitionsmenge D genau ein Element f aus der Wertemenge zugeordnet wird
• Nullstellen


  • Graph immer auf der x-Achse
  • f(x) = 0
• Maximum (Hochpunkt)


  • Der größte Funktionswert in einer konkreten Umgebung
• Minimum (Tiefpunkt)


  • Der kleinste Funktionswert in einer konkreten Umgebung
• Definitionsmenge


  • x-Achse z.b [1; 5]
  • Derjenige Bereich (Intervall) auf dem die Funktion definiert ist
• Wertemenge


  • Derjenige Bereich (Intervall) auf dem die Funktionswerte liegen
  • y-Achse z.b. [1; 4]
• Streng monoton steigend


  • Wenn die Funktionswerte ständig wachsen
• Streng monoton fallend


  • Wenn die Funktionswerte ständig fallen
• Polstelle


  Definitionslücke oder Sprungstelle einer Funktion
• Asymptote


  Beliebige Annäherung ohne Berührung
• Symmetrie


  Gerade, wenn gilt f(-x) = f(x)

  Ungerade, wenn gilt f(-x) = -f(x)
• Direkt proportional


  Je mehr ..., desto mehr ...

  Je weniger ..., desto weniger ...
• Indirekt proportional


  Je mehr ..., desto weniger ...

  Je weniger ..., desto mehr ...
• Indirekt proportionale Funktion


  y = c/x, mit c ≠ 0
• Indirekte Proportionalität besteht zwischen zwei Größen, deren Produkt konstant ist
• Direkt proportionale Funktion

  x/y = c, mit c konstant
• Kostenfunktion


  K(x) = k * x + F
• k


  Variable Kosten pro Stück/proportionale Kosten
• F


  Fixkosten (= Kosten die anfallen, wenn keine Stückzahlen produziert wurden.)
• x

  Angabe in ME (=Mengeneinheiten); z.B.: kg
• k * x


  Variable Kosten
• K(x)

  Gesamtkosten in GE (=Geldeinheiten); z.B.: €
• Kostenfunktion


  K(x) = Gesamtkosten in Abhängigkeit der produzierten Stückzahl x
• Lineare Erlösfunktion

  E(x) = p*x
• E(x)

  Erlös
• p

  Preis pro ME

  
• Break-Even-Point (BEP)


  E(x) = K(x)

  E(x) - K(x) = 0

  G(x) = 0
• Bis zum Break-Even-Point macht eine Firma Verluste
• Ab dem Break-Even-Point erzielt eine Firma Gewinne
• Der Break-Even-Point (BEP) befindet sich an der Stelle an der E(x) = K(x) gilt
• Eigenschaften

  
• Definitions und Wertemenge

  
• Polstellen und Asymptoten

  
• Symmetrie