11. Differenciálhányados, deriválás

• Legyen A és B két nem üres halmaz. Azt mondjuk, hogy megadunk egy A halmazon értelmezett B-beli értéket felvevõ függvényt, ha A minden eleméhez hozzárendeljük a B egy és csakis egy elemét. Jele: $f: A \rightarrow B$.
• Legyen f egy ]a, b[ intervallumon értelmezett függvény és x0 az értelmezési tartomány egy pontja. Ekkor a $g(x)=$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ függvényt az f függvény x0 ponthoz tartozó különbségi hányados (differenciahányados) függvényének nevezzük.
• Az f függvény x0 ponthoz tartozó különbségi hányadosának az x0 helyen vett határértékét (ha ez a határérték létezik és véges) az f függvény x0 pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük.

  $f^{'}(x_0)=$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
• Ha egy függvénynek egy pontban van deriváltja, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ebben a pontban differenciálható (deriválható).

  Az x0 pontbeli differenciálhányados egy ábrázolható függvény esetében a függvény grafikonjának (x0, f(x0)) pontjához húzott érintõ meredeksége.
• Ha f függvénynél az értelmezési tartomány minden olyan pontjához, ahol f differenciálható hozzárendeljük a differenciahányados értékét, akkor az f függvény differenciálhányados (derivált) függvényét kapjuk. Jelölés: f′(x).
• Gazdasági problémák megoldása

  • Ha egy áru iránti kereslet függ a termék árától, akkor milyen ár esetén érhetõ el maximális összbevétel?
  • Ha egy termék elõállítási költsége függ a termék reklámozására fordított összegtõl, akkor mekkora reklámköltség esetén érhetõ el egy termék minimális elõállítási költsége?
• Matematikai problémák megoldása

  • Adott térfogatú folyadéknak milyen méretekkel rendelkezõ hengeres dobozt tervezzünk, hogy a felhasznált csomagolóanyag mennyisége minimális legyen?
  • Adott sugarú gömbbe írt hengerek közül melyiknek a térfogata maximális?
  • Adott alapkörsugarú és magasságú forgáskúpba olyan forgáshengert írunk, amelynek alapköre a kúp alapkörének része, fedõköre pedig illeszkedik a kúp palástjára. Milyen esetben lesz a henger térfogata maximális?