13. Háromszögek neveztes vonalai, pontjai és körei

• A szakasz felezõmerõlegese a szakasz két végpontjától egyenlõ távol lévõ pontok halmaza.

  A háromszög három oldalfelezõ merõlegese egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszög köré írt kör középpontja.
• Egy konvex szögtartományban a száraktól egyenlõ távolságra lévõ pontok halmaza a szög-felezõ.

  A háromszög három belsõ szögfelezõje egy pontban metszi egymást. Ez a pont a háromszögbe írt kör középpontja.
• A háromszög egy belsõ, és a másik két csúcshoz tartozó külsõ szögfelezõje egy pontban metszi egymást, ez a pont a háromszög hozzáírt körének középpontja. A háromszögnek 3 hozzáírt köre van.
• A háromszög ugyanazon szögének külsõ és belsõ szögfelezõje merõleges egymásra.
• A háromszög magassága az egyik csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merõleges szakasz. A háromszög magasságának egyenese a háromszög magasságvonala.

  TÉTEL: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja.
• A háromszög csúcsát a szemközti oldal felezõpontjával összekötõ szakasz a háromszög súlyvonala.

  TÉTEL: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat úgy, hogy a csúcs felé esõ szakasz úgy aránylik az oldal felé esõ szakaszhoz, mint 2 : 1.
• A háromszög két oldalfelezõ pontját összekötõ szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

  Minden háromszögnek 3 középvonala van.

  TÉTEL: A háromszög középvonala párhuzamos a felezõpontokat nem tartalmazó oldallal, és fele olyan hosszú.
• A háromszög magasságpontja, súlypontja és a körülírt kör középpontja egy egyenesen van (Euler-féle egyenes). A súlypont a másik kettõ távolságát harmadolja és a körülírt kör középpontjához van közelebb.
• Egy háromszög oldalainak felezõpontjai, magasságainak talppontjai és a magasságpontot a csúcsokkal összekötõ szakaszok felezõpontjai egy körön vannak (Feuerbach-kör).

  A Feuerbach-kör középpontja (O) felezi a magasságpontot (M) és a köré írható kör középpontját (K) összekötõ szakaszt, sugara a háromszög köré írható kör sugarának a fele. Vagyis az M pontból a köré írt kör $\lambda =$$\frac{1}{2}$-es arányú kicsinyített képe a Feuerbach-kör.
• Alkalmazások

  • Háromszögszerkesztési feladatok
  • Koordináta-geometria: 3 ponton átmenõ kör egyenlete, háromszög súlypontjának kiszámítása
  • Súlyvonal, súlypont (homogén anyageloszlású háromszög esetén) fizikában: súlyvonal mentén, illetve súlypontban alátámasztva a háromszög egyensúlyban van
  • Kör középpontjának szerkesztése
  • Területszámítási feladatok a nevezetes körök sugarainak felhasználásával
• Geometria


  Görög szó, eredeti jelentése földmérés. A geometria az ókori görög matematikusok tevékenysége által vált tudománnyá.
• Thalész

  • A matematika atyja, az elsõ olyan matematikus volt, akinek bizonyítási igénye volt, foglalkozott állításai megfordításával is: így jutott el a derékszögû háromszög köré írt kör középpontjához.
• Apollóniusz


  • A legnagyobb görög geométernek tartott, a Kr. e. III. században élt görög matematikus, sokat foglalkozott a háromszögekkel és a velük kapcsolatos összefüggésekkel.
• Eukleidész

  • Kr. e. 300 körül élt görög matematikus, Elemek címû mûvében meghatározta a geometriai alapszekesztések axiómáit, szögletes síkidomok tulajdonságait, A Pitagorasz-tételt, a kör és vele kapcsolatos tételeket, a kerületi és középponti szögeket, a szabályos sokszögek szerkesztését.
• Euler


  • Svájci matematikus, a háromszög nevezetes vonalait, pontjait is vizsgálta, ismerte a Feuerbach-kört, de ez a tétel feledésbe merült.
• Feuerbach


  • Német matematikus, újra felfedezte az Euler által már megtalált kört, amit ezután Feuerbachról neveztek el.