14. Összefüggések a háromszögek oldalai, szögei között

• Háromszög-egyenlõtlenségek: a háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadiknál: $a +$$b > c, a +$$c > b, b +$$c > a.$
• A háromszög belsõ szögeinek összege 180o.

  A háromszög külsõ szögeinek összege 360o.

  A háromszög egy külsõ szöge egyenlõ a nem mellette fekvõ két belsõ szög összegével.
• Egy háromszögben egyenlõ hosszúságú oldalakkal szemben egyenlõ nagyságú szögek vannak, egyenlõ nagyságú szögekkel szemben egyenlõ hosszúságú oldalak vannak.
• Bármely háromszögben két oldal közül a hosszabbikkal szemben nagyobb belsõ szög van, mint a rövidebbikkel szemben, illetve két szög közül a nagyobbikkal szemben hosszabb oldal van, mint a kisebbikkel szemben.
• Szinusztétel: Egy háromszögben két oldal hosszának aránya egyenlõ a velük szemközti szögek szinuszának arányával
• Koszinusztétel: egy háromszög egyik oldalhosszának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetösszegébõl kivonjuk a két oldal hosszának és a közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát:

  $c^2=$$a^2+$$b^2-2ab\cos\gamma$
• Alkalmazások:

  • Háromszögek szerkesztése, háromszög ismeretlen adatainak kiszámítása

  • Sokszögekben oldalak, átlók, szögek kiszámolása háromszögekre bontással

  • Földmérésben, térképészetben, csillagászatban mért adatokból távolságok és szögek kiszámolása

  • Terepfeladatok megoldásánál: pl.: megközelíthetetlen pontok helyének meghatározása

  • Modern helymeghatározás: GPS
• Matematikatörténeti vonatkozások:

  • Thalész mondta ki, hogy a háromszög belsõ szögeinek összege 180, megállapította, hogy egyenlõ szárú háromszögben az egyenlõ hosszúságú oldalakkal

  szemben egyenlõ szögek vannak.

  • A szinusztétel felfedezõje Abu Nasr (1000 körül) arab matematikus.

  • Regiomontanus (1436–1476) német matematikus részletes trigonometriai bevezetést írt a háromszögekrõl. Készített szinusztáblázatot is. A nagy humanista Vitéz János barátjaként éveket töltött Esztergomban, majd Mátyás király udvarában a Corvina könyvtár rendezésével

  foglalatoskodott.