15. Transzformációk, szimmetria

• Geometriai transzformációk azok a függvények, amelyek egy ponthalmazt ponthalmazra képeznek le. (Df = Rf = ponthalmaz)
• A geometriai transzformációk közül a távolságtartó transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük.

  Távolságtartó leképezés: bármely két pont távolsága egyenlõ képeik távolságával.

  Síkbeli egybevágósági transzformációk: tengelyes tükrözés, pontra vonatkozó (középpontos) tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás, és ezek egymás utáni alkalmazása.
• Tengelyes tükrözés: adott a sík egy t egyenese, ez a tengelyes tükrözés tengelye.

  A t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés a sík tetszõleges t-re nem illeszkedõ P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a PP' szakasz felezõmerõlegese a t tengely.

  A t egyenes képe önmaga.
• Középpontos tükrözés: adott a sík egy O pontja, a középpontos tükrözés középpontja.

  Az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés a sík egy tetszõleges O-tól különbözõ P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre az O pont a PP' szakasz felezõpontja. Az O pont képe önmaga.
• Pont körüli forgatás: adott a sík egy O pontja és egy α irányított szög. Az O pont körüli a szögű, adott irányú forgatás a sík egy tetszõleges O-tól különbözõ P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy POP' szög irány és nagyság szerint megegyezik a-val és OP = OP'. O pont képe önmaga.
• Eltolás: adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a sík (tér) tetszõleges P pontjához azt a P' pontot rendeli, amelyre $\overline{PP'}=$$\underline{v}$.
• Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jele: $A\cong B$.
• Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha:

  • megfelelõ oldalaik hossza páronként egyenlõ,
  • két-két oldaluk hossza páronként egyenlõ és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlõ,
  • két-két oldaluk hossza páronként egyenlõ és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközti szögük nagysága egyenlõ,
  • egy-egy oldaluk hossza páronként egyenlõ és két-két szögük páronként egyenlõ.
• Két sokszög akkor és csak akkor egybevágó, ha a következõ feltételek egyike teljesül:

  • megfelelõ oldalaik hossza és a megfelelõ átlóik hossza páronként egyenlõ,
  • megfelelõ oldalaik hossza páronként egyenlõ és megfelelõ szögeik páronként egyenlõk.
• Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe önmaga, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus, amelynek t a szimmetriatengelye.

  Tengelyesen szimmetrikus síkidomok: egyenlõ szárú háromszög, egyenlõ oldalú háromszög, deltoid, húrtrapéz, rombusz, téglalap, négyzet, szabályos sokszögek, kör.
• Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre vonatkozó képe önmaga, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus, amelynek O a szimmetria középpontja.

  Középpontosan szimmetrikus síkidomok: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet, páros oldalszámú szabályos sokszögek, kör, ellipszis. Középpontosan szimmetrikus háromszög nincs.
• Ha egy ponthalmazhoz található egy olyan O pont és egy a szög úgy, hogy az alakzat O pont körüli a szögû elforgatása önmaga, akkor ez a ponthalmaz forgásszimmetrikus.

  Forgásszimmetrikus síkidomok: a középpontosan szimmetrikus síkidomok, szabályos sokszögek, kör.
• Véges sok középpontos hasonlósági transzformáció és véges sok egybevágósági transzformáció egymás utáni végrehajtásával kapott transzformációkat hasonlósági transzformációnak nevezzük.
• Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi. Jele: A ~ B.
• Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha:

  1. megfelelõ oldalaik hosszának aránya páronként egyenlõ,
  2. két-két oldalhosszuk aránya és az ezek által közbezárt szögek nagysága egyenlõ,
  3. két-két oldalhosszuk aránya egyenlõ, és e két-két oldal közül a hosszabbikkal szemközti szögük nagysága egyenlõ,
  4. két-két szögük páronként egyenlő
• Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha megfelelõ oldalhosszaik aránya és megfelelõ szögeik nagysága páronként egyenlõ nagyságú.
• A háromszög középvonalaira vonatkozó tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a felezõpontokat nem tartalmazó oldalakkal, és fele olyan hosszú, mint a nem felezett oldal.
• A háromszög súlyvonalaira vonatkozó tétel: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont mindhárom súlyvonalnak a csúcstól távolabbi harmadolópontja.
• Szögfelezõtétel: Egy háromszög belsõ szögfelezõje a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja.
• Magasságtétel: Derékszögû háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság hossza mértani közepe azon két szakasz hosszának, amelyekre a magasság az átfogót osztja.
• Befogótétel: Derékszögû háromszög befogójának hossza mértani közepe az átfogó és a befogó átfogóra esõ merõleges vetülete hosszának.