maths

• Točka u prostoru


  Svaka točka T u prostoru jednoznačno je određena koordinatama (x, y, z)

  
• Radij-vektor točke T


  −→OT = −→rT = x⃗i + y⃗j + z⃗k
• Određivanje udaljenosti između dvije točke T1(x1, y1, z1) i T2(x2, y2, z2)

  Udaljenost je jednaka duljini dijagonale kvadra stranica duljine |x2 − x1|, |y2 − y1|, |z2 − z1|<|d(T1, T2) = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2<|d(T1, T2) = |−−−→T1T2|
• Ravnina u prostoru


  Ravnina π prolazi točkom T1 i okomita je na zadani vektor ⃗n
• Određivanje vektorske jednadžbe ravnine π


  ⃗n · (⃗r − ⃗r1) = 0<|Vektor ⃗n nazivamo normalom ravnine π
• Opća jednadžba ravnine


  Ax + By + Cz + D = 0, D = −Ax1 − By1 − Cz1
• Određivanje jednadžbe ravnine π kroz tri točke T1(x1, y1, z1), T2(x2, y2, z2), T3(x3, y3, z3)


  Budući da su vektori −−→T1T, −−−→T1T2, −−−→T1T3 komplanarni, vrijedi da je mješoviti umnožak −−→T1T · (−−−→T1T2 × −−−→T1T3) = 0
• Segmentni oblik jednadžbe ravnine


  x/m + y/n + z/p = 1, gdje su m, n, p odsječci ravnine π na koordinatnim osima x, y, z

  
• Određivanje udaljenosti točke T1(x1, y1, z1) od ravnine π


  d(T1, π) = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A2 + B2 + C2)
• Pravac u prostoru


  Pravac p prolazi točkom T0 i nositelj je vektora ⃗s
• Određivanje jednadžbe pravca p


  ⃗r = ⃗r0 + t⃗s
• Ravnina π


  Ravnina koja prolazi točkom T0(x0, y0, z0) i ima vektor normale ⃗n = A⃗i + B⃗j + C⃗k
• Udaljenost točke T1(x1, y1, z1) od ravnine π


  1. Vektor −−−→T0T1 je vektorska projekcija −−−→T0T1 na vektor normale ⃗n

  2. d(T1, π) = |A(x1 - x0) + B(y1 - y0) + C(z1 - z0)| / √(A^2 + B^2 + C^2)

  3. d(T1, π) = |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
• Pravac p


  Pravac u prostoru koji prolazi točkom T0 i ima vektor smjera ⃗s
• Jednadžba pravca p


  1. Vektorska jednadžba: ⃗r = ⃗r0 + t⃗s

  2. Parametarski oblik: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct

  3. Kanonski oblik: (x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c
• Jednadžba pravca p koji prolazi točkama T1 i T2


  1. ⃗s = −−−→T1T2

  2. x - x1 / x2 - x1 = y - y1 / y2 - y1 = z - z1 / z2 - z1
• Pravac p kao presjek ravnina π1 i π2


  • Ako je r(A) = r(Ap) = 2, onda je p jednoparametarsko rješenje, ravnine se sijeku u pravcu p
  • Ako je r(A) ≠ r(Ap), onda nema rješenja, ravnine su paralelne
  • Ako je r(A) = r(Ap) = 1, onda je p dvoparametarsko rješenje, ravnine se podudaraju
• Kut između ravnina π1 i π2


  Jednak je kutu između vektora njihovih normala ⃗n1 i ⃗n2

  cos φ = ⃗n1 · ⃗n2 / (|⃗n1| · |⃗n2|)