Limites

• Para que una función sea continua en un punto se debe cumplir que:

  1. Exista imagen en ese punto.
  2. Exista límite en ese punto.
  3. La imagen y el limite sean iguales.
• El teorema de la unicidad del límite establece que si existe lim x→c- f(x), entonces es único.
• El límite es el valor de la imagen para que la función sea continua.
• Las funciones racionales son continuas en su dominio
• La propiedad de la identidad es f(x) = lim x->c x = c = f(c)
• Un limite infinito quiere decir que no hay limites porque se van a valores absolutos muy grandes, ya sea para arriba o para abajo.
• El concepto de limite lateral considera que x se aproxima al punto c, ya sea por derecha o por izquierda.
• Cuando el limite da infinito, ya sea por derecha, izquierda o por ambos lados, se dice que la recta x=c es asíntota al gráfico de y=f(x). Esto se llama Asíntota Vertical
• Si la función es continua en un punto, no hay asíntota vertical en dicho punto.
• Para que una función sea continua, ambos limites laterales deben ser iguales.
• Si el numerador tiene limites distintos a cero, y el denominador vale 0, el limite es infinito
• La suma de infinitos de diferente orden equivale al de mayor orden.
• Si f(x) = lim x-> c = ∞, se dice que la recta x = c es Asíntota Vertical al gráfico y = f(x)
• Si el límite de la operación queda determinado por los límites de los operandos, sin necesidad de saber cuales son los operandos, decimos que el limíte es determinado.
• Cuando el límite de la operación no queda determinado por los límites de los operandos, sino que hay varios resultados posibles dependiendo de cuáles sean las funciones involucradas, se dice que el límite es indeterminado.
• Al calcular un límite, se puede sustituir un factor o divisor de la expresión por su límite, siempre y cuando éste sea un número real no nulo, sin que esto afecte el límite de la expresión.
• Todo factor o divisor de una expresión se puede sustituir por un infinito equivalente sin que esto altere el límite de la expresión.
• Al multiplicar un infinito por una constante no nula, se obtiene un infinito del mismo orden.
• La suma de un infinito y una función acotada equivale al infinito.
• La suma de infinitos de igual orden es equivalente a la suma de sus respectivos equivalentes a menos que uno de los infinitos equivalga al opuesto del otro, en cuyo caso la suma será de menor orden que los infinitos originales (o acotada)
• El resultado de un límite indeterminado del tipo 0/0 depende de cuán rápido decrecen los valores absolutos de cada uno de los infinitésimos involucrados. Por eso se busca una forma de comparar infinitésimos y se introduce el concepto de órdenes de infinitésimos.
• Al multiplicar un infinitésimo por una constante no nula se obtiene un infinitésimo del mismo órden.
• El inverso multiplicativo de un infinito es un infinitésimo.
• El inverso multiplicativo de un infinitésimo es un infinito.
• Un infinitésimo es una función cuyos valores se aproximan tanto más al cero cuanto más se aproxima x hacia el valor c.
• Si al menos una de las condiciones para que una función sea continua no se cumple, entonces decimos que x=c es un punto de discontinuidad de y = f(x)
• Si la condiciones de continuidad que no se cumple es la existencia del límite, entonces decimos que se trata de una discontinuidad esencial. En cualquier otro caso se trata de una discontinuidad evitable.
• Teorema: Una función continua en un intervalo cerrado [a; b] es acotada en [a; b]
• Teorema de Weirstrass: Toda función continua en un intervalo cerrado [a; b] alcanza un máximo y mínimo en [a; b].
• Teorema de Bolzano: sea y = f(x) continua en [a; b] tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces existe c ∈ (a; b) tal que f(c) = 0
• Teorema del valor intermedio de Bolzano: Sea y = f(x) una función continua en [a; b]; si d es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe c ∈ (a; b) tal que f(c) = d
• Si un punto (x;y) se desplaza continuamente por el gráfico de una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.