Statistika

• Regresiona i korelaciona analiza


  Kada možemo modelirati vezu između dvije ili više varijabli?
• Varijable


  • Kada su varijable zavisne
  • Moguće je modelirati kvantitativne varijable (kompletirati dijagram rasipanja, izračunavati sintetičke pokazatelje, posmatrati promjene varijabli)
• Smjer veze između dvije varijable

  • Pozitivan ili direktan (porast vrijednosti jedne varijable uslovljava porast vrijednosti druge varijable i obrnuto)
  • Negativan ili indirektan (porast vrijednosti jedne varijable uslovljava pad vrijednosti druge varijable i obrnuto)
• Dijagram (oblak) rasipanja


  • Služi za vizuelnu identifikaciju međuzavisnosti između dvije varijable (jedna nezavisna, jedna zavisna)
  • Homogen raspored tačaka ukazuje na jaču vezu, heterogenost na slabiju vezu
• Dijagram rasipanja pomaže odgovoriti na pitanja: Da li postoji veza između varijabli X i Y? Kojeg smjera je veza između varijabli X i Y? Da li je ta veza pravolinijska (linearna) ili nije? Da li postoje outlieri?
• Dijagram rasipanja - Da li postoji veza između varijabli X i Y?


  • Veza postoji
  • Veza ne postoji (ili je vrlo slaba)
• Dijagram rasipanja - Smjer veze između varijabli X i Y

  • Direktna veza
  • Indirektna veza
• Indeks količina


  Indeks cijena
• Imamo podatke o danima pohađanja nastave i ocjenama za 14 studenata. Naš zadatak je da analiziramo vezu između ovih varijabli na osnovu dijagrama rasipanja.


  • Dani pohađanja nastave
  • Ocjena
• Nezavisna varijabla je broj dana pohađanja nastave, zavisna varijabla je ocjena
• Na bazi dijagrama rasipanja zaključujemo: Postoji međuzavisnost, smjer veze je direktan (više dana pohađanja nastave veća ocjena), veza se može ocijeniti linearnim regresionim modelom
• Kovarijansa


  Simultano prati varijabilitet dvije varijable, mjeri uzajamni varijabilitet dvije varijable u odnosu na njihove aritmetičke sredine
• Tumačenje kovarijanse


  Pozitivna ako oblak rasipanja ima rastuću tendenciju, negativna ako ima opadajuću tendenciju, jednaka nuli ako nema ni rastuće ni opadajuće tendencije
• Varijansa zbira i razlike statističkih varijabli

  • Var(X +Y)=Var X + Var Y + 2 Cov(X,Y), Var(X-Y)=Var X + Var Y - 2 Cov(X,Y)
  • Ako su X i Y nezavisne, Cov(X, Y)=0, tada Var(X+Y)=Var X + Var Y, Var(X-Y)=Var X + Var Y
• Regresioni model – opšti oblik

  Kvantificira vezu između zavisne i niza nezavisnih varijabli, opšti oblik: Y = f(X1, X2,..., Xj,..., Xk) + ei
• Model jednostavne regresije


  Sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu, Y = f(X) + ei
• Model jednostavne linearne regresije


  Sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu, y = a + bx + ei
• Razložimo model jednostavne linearne regresije


  Funkcionalni dio: linearna veza, Stohastički dio: rezidualno odstupanje
• Metoda najmanjih kvadrata


  Kriterij minimiziranja zbira kvadrata rezidualnih odstupanja, sistem normalnih jednačina za ocjenu parametara a i b
• faktora koji nisu uključeni u regresioni model

  stohastički dio modela
• funkcionalni dio modela


  y = a + bx + e
• Model jednostavne linearne regresije

  1. Rezidualno odstupanje ili stohastički dio regresionog modela

  2. Metoda najmanjih kvadrata
• Metoda najmanjih kvadrata


  Kriterij metode bazira se na minimiziranju zbira kvadrata rezidualnih odstupanja
• Parametar a


  Matematski "presjek sa y osom", očekivana vrijednost zavisne varijable kada je nezavisna 0
• Parametar b


  Matematski "nagib" prave, pokazuje za koliko će se jedinica promijeniti zavisna varijabla ako se nezavisna poveća za 1
• Regresioni model: y_hat = a + b*x
• Ocjena će u prosjeku porasti za 0,0166 ako se broj dana pohađanja nastave poveća za 1
• Student koji ima 0 skor (0 dana) za pohađanje nastave će prema modelu imati ocjenu 0,4097
• Vrijednost "10" u funkciji y = 10 + 3,1*x

  Fiksni troškovi
• Ako se broj agenata poveća za 1


  Broj prodanih polisa će se povećati za 8
• Pokazatelji reprezentativnosti regresionog modela


  • Koeficijent determinacije
  • Koeficijent korelacije
  • Standardna greška
  • Koeficijent varijacije
• Koeficijent determinacije


  Učešće objašnjenog varijabiliteta u ukupnom varijabilitetu zavisne varijable
• Koeficijent linearne korelacije (Pearson)


  Mjeri jačinu i smjer povezanosti dvije pojave
• Vrijednost koeficijenta linearne korelacije se nalazi između -1 i 1
• Veća vrijednost koeficijenta ukazuje na postojanje veće linearne povezanosti između promjenjljivih X i Y
• Kovarijansa


  Odnos kovarijanse varijabli X i Y i proizvoda standardnih devijacija varijable X i varijable Y
• Koeficijent linearne korelacije


  Vrijednost se nalazi između -1 i 1
• Veća vrijednost koeficijenta


  Ukazuje na postojanje veće linearne povezanosti između promjenjljivih X i Y
• Manja vrijednost r ne mora uvijek značiti da je slaba korelacija jer se može raditi o pogrešnoj primjeni koeficijenta linearne korelacije za mjerenje jačine veze pojava koje nisu u linearnom odnosu
• Tumačenje koeficijenta linearne korelacije

  • Za vrijednosti: -1 < r < 0 korelacija je negativna (stohastička)
  • Za vrijednosti: 0 < r < 1 korelacije je pozitivna (stohastička)
  • Za vrijednosti –1 i 1, radi se o perfektnoj negativnoj odnosno pozitivnoj korelaciji, tj. o funkcionalnoj vezi