Statistische Physik

• Die Entropie ist ein Zustandsgröße, die sich aus der Wahrscheinlichkeit des Zustandes berechnen lässt
• Statistische Physik verknüpft mikroskopische Bewegungsgleichungen mit makroskopischen Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik mittels statistischen Ansätzen und Wahrscheinlichkeitstheorie
• Typische Resultate der Statistischen Physik für große Systeme sind Mittelwerte, Schwankungen und Häufigkeitsverteilungen
• Die Klassische Statistische Physik und Quantenstatistik unterscheiden sich je nach angenommener mikroskopischer Dynamik
• Die Quantenstatistik beschreibt reale Systeme korrekt, während die klassische Statistische Physik als klassischer Grenzfall der Quantenstatistik erscheint
• In der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterscheidet man zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen
• Die Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit wird definiert als das Verhältnis der Anzahl der Versuche mit einem bestimmten Ergebnis zur Gesamtanzahl der Versuche
• In vielen Situationen ist es egal, ob ein Experiment N mal nacheinander oder mit N identischen Kopien des Systems durchgeführt wird
• Die Wahrscheinlichkeiten für unabhängige Ereignisse multiplizieren sich, während die Wahrscheinlichkeiten distinkter Ereignisse addiert werden
• Die Wahrscheinlichkeiten wk sind normiert, und der Mittelwert einer Funktion von k wird berechnet als die Summe von fkwk über alle k
• Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Funktion von ihrem Mittelwert und wird als das Schwankungsquadrat definiert
• Die Häufigkeitsverteilung gibt vollständige statistische Information über die Zufallsvariable und erfordert in der Regel mehr Daten zur Abschätzung als die Momente
• Wichtige Verteilungen für diskrete Variablen sind die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung
• Die Normierung in Bezug auf die Potenz eines Binoms:

  • Verwendung der Formel für die Potenz eines Binoms [(a+b)^N = ΣNn=0 (N n) anb^(N-n)]
• Mittelwert der Anzahl schwarzer Kugeln:

  • ⟨n⟩ = p · N
• Schwankungsquadrat:

  • ∆n^2 = p(1 − p)N
• Relative Schwankungsbreite:

  • p / ⟨∆n^2⟩ / ⟨n⟩ = p / (p(1 − p)N) / (p · N) = s / (1 − p) / p · 1 / √N
• Multinomialverteilung:

  • Verallgemeinerung: Urne mit k Kugelsorten, Wahrscheinlichkeit n1 schwarze, n2 blaue, n3 grüne... Kugeln zu ziehen (N = Gesamtzahl der Ziehungen)
  • w(n1, ..., nk) = ΣNn1, n2, ..., nk (N n1, n2, ..., nk) pn1^1 · pn2^2 ... pnk^k
• Multinomialkoeffizient:

  • ΣNn1, n2, ..., nk = N! / (n1!n2! ... nk!) = Vertauschungen der N Kugeln / Vertauschungen gleichfarbiger Kugeln
• Anwendung fairer Würfel:

  • W’keit bei fünf Würfen dreimal 6 und zweimal 5 in einer beliebigen Reihenfolge zu würfeln: w(n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0, n4 = 0, n5 = 2, n6 = 3) = 5! / (2! · 3!) (1/6)^2 (1/6)^3 ≃ 0.0013 ≈ 1.3% Chance
• Zurück zur Binomialverteilung:

  • Zwei wichtige Grenzfälle:

  1. Poisson-Verteilung
  2. Gauß-Verteilung (Laplace-Näherung der Binomialverteilung)
• Verbundw’keit zerfällt (faktorisiert) in ein Produkt von Einzelw’keiten
• Zentraler Grenzwertsatz:

  • Betrachtet Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallszahlen X1, X2, ..., XN
  • Die Summe Y = X1 + X2 + ... + XN ist für N → ∞ asymptotisch normalverteilt (Gauß-verteilt)
• Anwendbar in vielen Situationen, in denen sich viele unabhängige (oder nur schwach korrelierte) Einflüsse aufaddieren
• Herleitung:

  • Neue Variable Z = ∑(xi - ⟨x⟩) / √N = Y - N⟨x⟩ / √N, die einer bestimmten Verteilung genügt
  • Die Verteilung wird durch Kumulanten Cn charakterisiert
• Kumulanten berücksichtigen neue Eigenschaften, die durch höhere Momente charakterisiert werden
• Die relative Schwankung der Summe ist proportional zu 1 / √N
• Schwankungen makroskopischer Größen:

  • Ideales Gas im Kasten ohne Wechselwirkung unter den Teilchen
  • Einführung von Mikro- und Makrozustand
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Teil des Kastens
  • Problem der Teilchenzahlen in den Kompartimenten und deren Verteilung
• Die relative Standardabweichung geht gegen Null für N → ∞
• Beispiel mit einem idealen Gas im Kasten und der Verteilung der Teilchenzahlen in den Kompartimenten
• Die relative Fluktuationen der Observablen sind auf jeden Fall von gleicher Größenordnung (oder sogar kleiner) als die relativen Fluktuationen der Teilchenzahl
• Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Teilchen in einem bestimmten Teil des Kastens beobachtet werden, ist extrem gering
• In Systemen mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit treten bestimmte Ereignisse nicht auf
• Für die obigen Kastenmaße kann gefragt werden, wie oft eine relative Schwankung größer als ein Milliardstel ist
• Die relative Abweichung x = ∆N1/ ⟨N1⟩ ist Gauß-verteilt und hat eine Standardabweichung von rN
• Die Wahrscheinlichkeit für x außerhalb des Intervalls (−10−9, 10−9) zu sein, wird berechnet
• Die Zeit, um 1/W Zustandsänderungen zu beobachten, wird berechnet
• Die typische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls bei Zimmertemperatur wird abgeschätzt
• Die Zeit, um 1/W Zustandsänderungen zu durchlaufen, wird berechnet
• Die Fluktuation von einem Milliardstel des MW wird praktisch nie beobachtet werden