Statistische Physik

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    • Die Entropie ist ein Zustandsgröße, die sich aus der Wahrscheinlichkeit des Zustandes berechnen lässt
    • Statistische Physik verknüpft mikroskopische Bewegungsgleichungen mit makroskopischen Gesetzmäßigkeiten der Thermodynamik mittels statistischen Ansätzen und Wahrscheinlichkeitstheorie
    • Typische Resultate der Statistischen Physik für große Systeme sind Mittelwerte, Schwankungen und Häufigkeitsverteilungen
    • Die Klassische Statistische Physik und Quantenstatistik unterscheiden sich je nach angenommener mikroskopischer Dynamik
    • Die Quantenstatistik beschreibt reale Systeme korrekt, während die klassische Statistische Physik als klassischer Grenzfall der Quantenstatistik erscheint
    • In der Wahrscheinlichkeitsrechnung unterscheidet man zwischen diskreten und kontinuierlichen Zufallsvariablen
    • Die Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit wird definiert als das Verhältnis der Anzahl der Versuche mit einem bestimmten Ergebnis zur Gesamtanzahl der Versuche
    • In vielen Situationen ist es egal, ob ein Experiment N mal nacheinander oder mit N identischen Kopien des Systems durchgeführt wird
    • Die Wahrscheinlichkeiten für unabhängige Ereignisse multiplizieren sich, während die Wahrscheinlichkeiten distinkter Ereignisse addiert werden
    • Die Wahrscheinlichkeiten wk sind normiert, und der Mittelwert einer Funktion von k wird berechnet als die Summe von fkwk über alle k
    • Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Funktion von ihrem Mittelwert und wird als das Schwankungsquadrat definiert
    • Die Häufigkeitsverteilung gibt vollständige statistische Information über die Zufallsvariable und erfordert in der Regel mehr Daten zur Abschätzung als die Momente
    • Wichtige Verteilungen für diskrete Variablen sind die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung
    • Die Normierung in Bezug auf die Potenz eines Binoms:
      • Verwendung der Formel für die Potenz eines Binoms [(a+b)^N = ΣNn=0 (N n) anb^(N-n)]
    • Mittelwert der Anzahl schwarzer Kugeln:
      • ⟨n⟩ = p · N
    • Schwankungsquadrat:
      • ∆n^2 = p(1 − p)N
    • Relative Schwankungsbreite:
      • p / ⟨∆n^2⟩ / ⟨n⟩ = p / (p(1 − p)N) / (p · N) = s / (1 − p) / p · 1 / √N
    • Multinomialverteilung:
      • Verallgemeinerung: Urne mit k Kugelsorten, Wahrscheinlichkeit n1 schwarze, n2 blaue, n3 grüne... Kugeln zu ziehen (N = Gesamtzahl der Ziehungen)
      • w(n1, ..., nk) = ΣNn1, n2, ..., nk (N n1, n2, ..., nk) pn1^1 · pn2^2 ... pnk^k
    • Multinomialkoeffizient:
      • ΣNn1, n2, ..., nk = N! / (n1!n2! ... nk!) = Vertauschungen der N Kugeln / Vertauschungen gleichfarbiger Kugeln
    • Anwendung fairer Würfel:
      • W’keit bei fünf Würfen dreimal 6 und zweimal 5 in einer beliebigen Reihenfolge zu würfeln: w(n1 = 0, n2 = 0, n3 = 0, n4 = 0, n5 = 2, n6 = 3) = 5! / (2! · 3!) (1/6)^2 (1/6)^3 ≃ 0.00131.3% Chance
    • Zurück zur Binomialverteilung:
      • Zwei wichtige Grenzfälle:
      1. Poisson-Verteilung
      2. Gauß-Verteilung (Laplace-Näherung der Binomialverteilung)
    • Verbundw’keit zerfällt (faktorisiert) in ein Produkt von Einzelw’keiten
    • Zentraler Grenzwertsatz:
      • Betrachtet Summe unabhängiger identisch verteilter Zufallszahlen X1, X2, ..., XN
      • Die Summe Y = X1 + X2 + ... + XN ist für N → ∞ asymptotisch normalverteilt (Gauß-verteilt)
    • Anwendbar in vielen Situationen, in denen sich viele unabhängige (oder nur schwach korrelierte) Einflüsse aufaddieren
    • Herleitung:
      • Neue Variable Z = ∑(xi - ⟨x⟩) / √N = Y - N⟨x⟩ / √N, die einer bestimmten Verteilung genügt
      • Die Verteilung wird durch Kumulanten Cn charakterisiert
    • Kumulanten berücksichtigen neue Eigenschaften, die durch höhere Momente charakterisiert werden
    • Die relative Schwankung der Summe ist proportional zu 1 / √N
    • Schwankungen makroskopischer Größen:
      • Ideales Gas im Kasten ohne Wechselwirkung unter den Teilchen
      • Einführung von Mikro- und Makrozustand
      • Die Wahrscheinlichkeit eines Teilchens in einem bestimmten Teil des Kastens
      • Problem der Teilchenzahlen in den Kompartimenten und deren Verteilung
    • Die relative Standardabweichung geht gegen Null für N → ∞
    • Beispiel mit einem idealen Gas im Kasten und der Verteilung der Teilchenzahlen in den Kompartimenten
    • Die relative Fluktuationen der Observablen sind auf jeden Fall von gleicher Größenordnung (oder sogar kleiner) als die relativen Fluktuationen der Teilchenzahl
    • Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Teilchen in einem bestimmten Teil des Kastens beobachtet werden, ist extrem gering
    • In Systemen mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit treten bestimmte Ereignisse nicht auf
    • Für die obigen Kastenmaße kann gefragt werden, wie oft eine relative Schwankung größer als ein Milliardstel ist
    • Die relative Abweichung x = ∆N1/ ⟨N1⟩ ist Gauß-verteilt und hat eine Standardabweichung von rN
    • Die Wahrscheinlichkeit für x außerhalb des Intervalls (−10−9, 10−9) zu sein, wird berechnet
    • Die Zeit, um 1/W Zustandsänderungen zu beobachten, wird berechnet
    • Die typische Geschwindigkeit eines Luftmoleküls bei Zimmertemperatur wird abgeschätzt
    • Die Zeit, um 1/W Zustandsänderungen zu durchlaufen, wird berechnet
    • Die Fluktuation von einem Milliardstel des MW wird praktisch nie beobachtet werden
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