fiche 4

• Convexité


  f est convexe sur I si, n'importe quelle sécante (AB) sur cet intervalle est au-dessus de Cf
• Convexité de f sur I et dérivée


  f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I
• Convexité de f sur I et dérivée seconde


  f est convexe sur I si et seulement si f'' est positive sur I
• Convexité de f sur I et tangentes

  f est convexe sur I si et seulement si Cf est au-dessus de ses tangentes sur I
• Point d'inflexion


  Il faut que la dérivée seconde s'annule en changeant de signe
• Primitives à connaître


  • Soit f une fonction positive sur [a; b]
• Interprétation graphique de ∫ab f(x)dx


  ∫ab f(x)dx est l'aire du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b
• Relation de Chasles pour les intégrales

  ∫ca f(x)dx = ∫ba f(x)dx + ∫cb f(x)dx
• Calcul de ∫ab f(x)dx

  F(b) - F(a) où F est une primitive de f
• Formule de l'intégration par parties


  ∫ab u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba - ∫ab u(x)v'(x)dx
• Formule de la valeur moyenne de f entre a et b


  μ = 1/(b-a) ∫ab f(x)dx
• Résolution de y' = f


  L'ensemble des solutions est l'ensemble des primitives de f
• Résolution de y' = ay


  L'ensemble des solutions sont les fonctions x ↦ Ceax où C ∈ R
• Résolution de y' = ay + b


  L'ensemble des solutions sont les fonctions x ↦ Ceax - b/a où C ∈ R
• Résolution de y' = ay + f


  L'ensemble des solutions sont les fonctions x ↦ Ceax + gp(x) où C ∈ R et gp est une solution particulière
• Concavité


  f est concave sur I si, n’importe quelle sécante (AB) sur cet intervalle est en-dessous de Cf.
• Lien concavité de f sur I et dérivée

  f est concave sur I si et seulement si f ′ est décroissante sur I.
• Lien concavité de f sur I et dérivée seconde

  f est concave sur I si et seulement si f ′′ est négative sur I.
• Lien concavité de f sur I et tangentes

  f est concave sur I si et seulement si Cf est en-dessous de ses tangentes sur I.