algebra

• Lugar geométrico


  Conjunto de puntos, del plano (o del espacio), que verifican una o varias propiedades geométricas

  
• Posición relativa de dos rectas


  • Rectas perpendiculares u ortogonales
  • Paralelismo entre rectas
  • Rectas coincidentes

  
• Distancia de un punto a una recta


  Solo si las rectas son paralelas, ya que en otro caso es Igual a 0

  
• Ejercicios varios
• Círculo


  Conjunto de puntos a una distancia fija de un punto central

  
• Determinar los puntos que satisfacen simultáneamente las condiciones del problema

  Intersección de las soluciones de cada condición
• Recta del plano


  Lugar geométrico determinado por un punto P0 y un vector v paralelo a la recta

  
• Por un punto pasan infinitas rectas
• Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada

  
• Ecuación vectorial paramétrica de la recta


  Ecuación que determina el conjunto de puntos de la recta en función de un punto P0 y un vector u paralelo a la recta

  
• El parámetro t no tiene representación en los ejes coordenados

  
• Cosenos directores


  Componentes de un vector unitario que indican la dirección de la recta

  
• Ecuación vectorial paramétrica de la recta

  • (x,y) = (x0,y0) + t(cos(α),sen(α))
  • (x,y) = (x0,y0) + t(u1,u2)

  
• Si la recta pasa por el origen, la ecuación vectorial paramétrica se simplifica

  
• La ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por dos puntos se obtiene a partir del vector entre esos puntos

  
• Ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por dos puntos


  1. Elegir un punto inicial

  2. Determinar el vector director

  3. Escribir la ecuación

  
• Parametrizar un segmento de recta es determinar la ecuación cartesiana paramétrica de la misma, restringiendo el dominio del parámetro t

  
• El parámetro t es una variable no esencial, se puede prescindir de él para obtener la ecuación simétrica o continua de la recta
• Eliminación del parámetro


  1. Igualar las expresiones de x e y en función de t

  2. Despejar t

  3. Sustituir en una de las ecuaciones paramétricas
• Métrica de la recta


  Determinada por los puntos extremos del segmento, restringiendo el dominio del parámetro t
• Ecuación vectorial paramétrica de la recta


  1. OP = OP1 + t(OP2 - OP1)

  2. r(t) = OP1 + t(OP2 - OP1)
• Parámetro t


  Variable no esencial que se puede eliminar
• Eliminación del parámetro t


  Obtener la ecuación simétrica o continua de la recta
• Ecuación simétrica o continua de la recta


  Ecuación que involucra solo las variables x e y

  
• La ecuación simétrica solo se puede determinar si las componentes del vector posición son no nulas

  
• Los coeficientes de x e y deben ser "unos" positivos
• Recta paralela al eje de ordenadas

  Ecuación: x = x0

  
• Recta paralela al eje de abscisas

  Ecuación: y = y0

  
• Para determinar si un punto pertenece a la recta, se puede reemplazar sus coordenadas en la ecuación

  
• También se puede usar la condición de perpendicularidad: un punto pertenece a la recta si el vector entre ese punto y otro de la recta es perpendicular al vector director

  
• Perpendicularidad


  Si u es un vector de dirección de la recta que contiene a P1(x1, y1), entonces un punto P2(x2, y2, r) pertenece a la recta r si y sólo si PP1 es perpendicular a u

  
• Determinar si un punto pertenece a una recta

  1. Calcular el producto escalar de PP1 y u

  2. Si el producto escalar es 0, entonces el punto pertenece a la recta

  
• Ecuación general o implícita o cartesiana de la recta

  Ax + By + C = 0

  
• Deducir la ecuación general de la recta


  1. A partir de la ecuación continua

  2. A partir de un punto perteneciente a la recta y un vector normal

  
• Si un vector de posición de la recta es u = (u1, u2), entonces un vector normal a la recta es n = (A, B) donde A = -u2 y B = u1

  
• Ecuación general o implícita o cartesiana de la recta


  Ax + By + C = 0, donde A, B y C se calculan a partir de un punto de la recta y un vector normal

  
• Posiciones relativas de una recta Ax + By + C = 0


  • Recta oblicua: A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0
  • Recta paralela al eje x: A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0

  
• Ecuación vectorial


  r(x,y) = (x0,y0) + t(x1-x0,y1-y0), t ∈ℝ
• Ecuación paramétrica cartesiana


  x = x0 + t(x1-x0), y = y0 + t(y1-y0), t ∈ℝ

  
• Ecuación simétrica o continua


  (x-x0)/(x1-x0) = (y-y0)/(y1-y0)