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• ganzrationale Funktionen


  Polynomfunktion: Summe polynomieller Bestandteile in einer Variablen x
• gr Funktionen Begriffe

  Polynomfunktion n. Grades /der Ordnung n; Koeffizient a; Potenzfunktion: 2 Koeffizienten
• Polynomfunktion Bestimmen

  1. Allgemeiner Funktionsterm & ggf Ableitung

  2. Gegebene Bedingungen mit f, f' und f'' aufstellen und lösen

  3. Lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen

  4. Überprüfung (Extremstellen & Wendestellen)
• Symmetrie

  • Achsensymmetrie - Zur y-Achse: alle Exponenten gerade f(-x) = f(x)
  • Punktsymmetrie zum Ursprung - alle Exponenten ungerade, f(x) = -f(x)
• Verhalten für x→ ± ∞

  • Vom Summanden aux^n bestimmt
• Besondere Funktionen

  • Konstant
  • Linear
  • Quadratisch
  • Kubisch
  • Natürliche Exponentialfunktionen
• Natürlicher Logarithmus

  Lösung von e^x = b für b > 0
• Umkehrfunktion


  Zu jeder y in der Wertemenge gibt es genau ein x in der Definitionsmenge mit f(x) = y
• Bestimmung der Umkehrfunktion

  1. y = f(x)

  2. Gleichung umstellen

  3. x und y vertauschen

  4. y durch f(x) ersetzen
• Bestimmtes Integral


  Orientierter Inhalt der Fläche eingeschlossen von f mit x-Achse zwischen den Grenzen a und b
• Berechnung des bestimmten Integrals

  1. Bestimmung der Nullstellen von f in [a;b]

  2. Berechnung der Integrale über Teilintervalle

  3. Addition der Beträge der Teilflächen
• Stammfunktion


  F ist Stammfunktion von f im Intervall I, wenn für alle x in I gilt: F'(x) = f(x)
• Bestimmung der Stammfunktion

  1. f differenzierbar

  2. F(x) = ∫f(t) dt + C
• Rechenregeln für Stammfunktionen

  • Potenzregel
  • Faktorregel
  • Summenregel
  • Lineare Substitution
• Graphen zeichnen

  1. Nullstellen von f

  2. Extremstellen von f

  3. Wendestellen von F

  4. Änderung des Krümmungsverhaltens von F
• Rotationskörper


  Fläche rotiert zwischen Graph von f und x-Achse über Intervall [a,b]
• Nullhypothese (Ho)


  Annahme, die getestet werden soll
• Alternative (H1)


  Annahme, die getroffen wird, wenn Ho verworfen wird
• Einseitiger Hypothesentest


  1. Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau α werden festgelegt

  2. Zufallsgröße X wird eingeführt

  3. Ablehnungsbereich wird bestimmt

  4. Stichprobe wird durchgeführt

  5. Entscheidungsregel: Wenn Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho verworfen, sonst nicht
• Fehler 1. Art


  Ho ist wahr, aber wird verworfen
• Fehler 2. Art


  Ho ist falsch, aber wird nicht verworfen
• Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art wird mit α bezeichnet. gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit. Höchstens so groß wie Signifikanzniveau.
• Einseitiger Hypothesentest


  Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau & werden festgelegt
• Linksseitiger Test


  Nullhypothese: Ho:p Po

  Alternative: H₁:p< Po
• Rechtsseitiger Test


  Nullhypothese: Ho:p≤ Po

  Alternative: H₁:p> Po
• Einseitiger Hypothesentest


  1. Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau & werden festgelegt

  2. Die Zufallsgröße X wird eingeführt. Wenn Ho wahr ist, dann ist X im Extremfall Br. po verteilt

  3. Ablehnungsbereich: A (0; 1;...; gl, wobei g die größte natürliche Zahl mit P(xg) sâ ist

  4. Ablehnungsbereich: A (g: g+1;; n), wobei g die kleinste natürliche Zahl ist

  5. Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho verworfen. Ansonsten wird Ho nicht verworfen
• Fehler 1. Art: Ho wird verworfen, obwohl Ho wahr ist

  Fehler 2. Art: Ho wird nicht verworfen, obwohl Ho falsch ist
• Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art

  Wird mit ä bezeichnet. Sie ist gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit und nach Konstruktion des Tests höchstens so groß wie das Signifikanzniveau
• Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art

  Wird mit ẞ bezeichnet. Man kann sie nur berechnen, wenn die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit bekannt ist
• Wahl der Nullhypothese

  Hängt von der Zielsetzung des Tests ab

  1. Faustregel: Man wählt die Nullhypothese so, dass der Fehler 1. Art derjenige ist, den man vermeiden möchte

  2. Faustregel: Man wählt die Behauptung, die statistisch gestützt werden soll, als Alternative
• Zweiseitiger Hypothesentest


  Stichprobenumfang n und Signifikanzniveau & werden festgelegt

  Nullhypothese: Ho: p = Po

  Alternative: H₁: p≠ Po

  Die Zufallsgröße X wird eingeführt. Wenn H, wahr ist, dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n und Po-

  Ablehnungsbereich: A = {0;...; g₁) U (g2; ...; n}, wobei g₁ die größte und g₂ die kleinste natürliche Zahl ist, sodass P (X ≤g₁) und PP (X = g2) ≤ ist

  Man führt eine Stichprobe vom Umfang n durch. Entscheidungsregel: Wenn das Stichprobenergebnis im Ablehnungsbereich liegt, wird Ho verworfen. Ansonsten wird Ho nicht verworfen
• Normalverteilung


  Histogramm: y-Werte sind nur für endlich viele x-Werte gegeben, die zugehörige Verteilung gehört zu den diskreten Verteilungen, Wahrscheinlichkeiten entsprechen der Summe der Flächeninhalte zugehöriger Säulen

  Glockenkurve: y-Werte sind für jeden reellen x-Wert gegeben, die zugehörige Verteilung gehört zu den stetigen Verteilungen, Wahrscheinlichkeiten entsprechen dem Flächeninhalt zwischen x-Achse und Glockenkurve über dem zugehörigen Intervall
• Normalverteilung


  Eine Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern u (Erwartungswert) und σ (Standardabweichung), wenn für zwei reelle Zahlen a und b mit a≤ b gilt: P(a≤ X ≤ b) =∫ab φμ,σ(x) dx. Man sagt kurz: X ist Nμ,σ-verteilt. Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Man nennt φμ,σ Gauß'sche Glockenfunktion, ihren Graphen Gauß'sche Glockenkurve
• Dichtefunktion Φμ,σ einer Nμ,σ-verteilten Zufallsgröße


  1/o*sqr(2pi) e^(-(x-mu)^2/2o^2)
• Für eine Nμ,σ-verteilte Zufallsgröße X lässt sich zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p mit einem Taschenrechner die Zahl c finden, sodass P(X = c) = p ist
• Gerade


  Parameterform/-gleichung: x = p + tu, t ∈ R, mit Ortsvektor p und Richtungsvektor u
• Ebene


  Parameterform/-gleichung: E: x = p + ru + sv, mit Ortsvektoren p, r, s

  Normalenform: (x-p)·n = 0, mit Normalenvektor n

  Koordinatenform: ax1 + bx2 + cx3 = d, mit a, b, c ∈ R
• Lagebeziehung


  Schneiden sich, sind echt parallel, sind identisch
• Skalarprodukt


  a·b = Σ ai*bi
• Vektorprodukt


  a x b = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)