SETTIMANA 8

• L'invarianza fattoriale implica che uno stesso modello fattoriale sia valido in diverse sub-popolazioni, oppure in diversi tempi (invarianza fattoriale longitudinale).
• l'invarianza fattoriale si basa su una sequenza di modelli incapsulati (nested). il punto di partenza è un modello meno vincolato, si aggiungono poi di volta in volta vincoli sempre più stringenti che definiscono i livelli di invarianza.
• poiché i confronti tra i gruppi richiedono che le differenze nelle varianze, nelle covarianze e nelle medie delle variabili osservate siano mantenute, non si devono standardizzare le variabili all'interno dei diversi gruppi, rimuovendo in questo modo le differenze nelle medie e nelle varianze: l'analisi deve basarsi sulla metrica dei punteggi grezzi
• modello CFA su gruppi multipli


  i punteggi osservati negli item y sono una funzione dei punteggi latenti ma non possono essere confrontati direttamente attraverso i gruppi (g) perché possono avere differenti valori di scala (v), differenti metriche (lambda), e differenti varianze residue (theta di epsilon).

  I confronti attraverso i gruppi (g) sono possibili solo quando questi vincoli sono tenibili.
• modelli multi-gruppo

  in assenza di vincoli tra i gruppi ogni gruppo può essere analizzato separatamente. In presenza di vincoli tra i gruppi i dati di tutti i gruppi vanno analizzati simultaneamente.
• requisito fondamentale del modello su gruppi multipli

  le popolazioni devono essere chiaramente definite e i campioni indipendenti, ovvero le misure ottenute nei diversi gruppi siano indipendenti
• nei modelli multi-gruppo si presuppone sempre che vengano analizzate matrici di varianze/covarianze e non matrici di correlazioni.
• si può esaminare qualsiasi tipo di ipotesi relativa all'invarianza, considerando come ipotesi estreme quelle in cui

  • tutti i parametri NON sono invarianti
  • tutti i parametri SONO invarianti
• nei modelli multi-gruppo valgono le stesse condizioni per l'identificazione necessarie nei gruppi singoli (es. CFA), che devono essere verificate su ciascuno dei gruppi considerati nell'analisi.
• i vincoli attraverso i gruppi possono facilitare l'identificazione di modelli non-identificati o a rischio di identificazione
• se i campioni sono indipendenti e le variabili seguono una distribuzione lineare multivariata i modelli possono essere stimati simultaneamente, minimizzando una funzione di fit ottimizzata simultaneamente su tutti i gruppi
• nei modelli multi-gruppo c'è un unico chi-quadrato. i gradi di libertà considerano tutti i parametri simultaneamente stimati sui gruppi, e gli eventuali vincoli imposti.
• baseline di bontà dell'adattamento (modello base)

  analisi simultanea di uno stesso modello su più gruppi senza imporre alcun vincolo di uguaglianza: somma dei modelli esaminati separatamente sui campioni esaminati
• i modelli vincolati sono incapsulati (nested) nel modello base senza vincoli (dal primo è possibile ottenere il secondo rilasciando i vincoli).
• confronto statistico dei modelli vincolati

  è possibile effettuare il test della differenza del chi-quadrato per esaminare se il vincolo imposto determina un peggioramento nell'indice di bontà dell'adattamento.
• ipotesi nulla dell'invarianza (test di valutazione dei vincoli)

  il vincolo imposto non peggiora significativamente il chi-quadrato del modello. La statistica utilizzata è la differenza dei chi-quadrati, che se NON è significativa indica che i vincoli NON peggiorano significativamente il modello.
• Data la forte dipendenza del chi-quadrato dalla numerosità del campione, si valuta anche la differenza tra gli indici CFI (delta CFI);

  valori di delta CFI minori o uguali a -.01 (ovvero un peggioramento inferiore o uguale a .01 nel CFI in seguito all'introduzione dei vincoli) indica che l'ipotesi nulla dell'invarianza non dovrebbe essere rifiutata.
• invarianza fattoriale

  • nessun vincolo: invarianza configurale
  • vincoli sui loadings: invarianza metrica
  • vincoli sui loadings e intercette: invarianza scalare
  • vincoli sui loadings, intercette e varianze residue: invarianza stretta
• ipotesi accessorie nell'invarianza fattoriale

  • vincoli sulle varianze e le covarianze dei fattori
  • vincoli su medie/intercette delle variabili latenti
• principio di struttura semplice nell'invarianza configurale


  gli item dello strumento di misura dovrebbero mostrare la stessa configurazione di saturazioni fattoriali salienti o pertinenti (diverse da 0) e non-salienti (uguali o quasi-uguali a 0) attraverso i differenti gruppi.
• invarianza configurale (non-metric invariance)


  si basa sul principio di struttura semplice; è il livello base di invarianza, per cui si esamina un modello con lo stesso numero di fattori e lo stesso pattern di saturazioni fattoriali fisse e libere (ma non dello stesso valore) attraverso i diversi gruppi.
• nell'invarianza configurale, nessun parametro del modello è sottoposto a vincoli di eguaglianza tra i gruppi.
• l'invarianza configurale fornisce un'evidenza della similarità qualitativa della struttura fattoriale nei diversi gruppi, ovvero dell'equivalenza concettuale della cornice di riferimento per le misure.
• l'invarianza configurale è utile per esplorare se un costrutto ha lo stesso significato e la stessa struttura di base nei diversi gruppi, ma non consente confronti quantitativi tra i gruppi né per le variabili latenti né per le osservate.
• criteri per la invarianza configurale

  1. il modello specificato con saturazioni secondarie uguali a zero (quindi il modello di CFA) ha un buon adattamento quando viene esaminato sia separatamente in ogni gruppo, sia simultaneamente su tutti i gruppi
  2. tutte le saturazioni principali sono significative e sostanzialmente differenti da 0
  3. le correlazioni tra i fattori sono sensibilmente inferiori a 1
• fallimento dell'invarianza configurale

  il pattern dei factor loadings differisce nei campioni. Nei casi più estremi potrebbe emergere un numero di fattori diversi nei differenti gruppi.
• invarianza metrica (weak factorial invariance, pattern invariance)


  le saturazioni fattoriali definiscono la metrica, ovvero portano l'informazione relativa a quanto cambiamenti nel punteggio latente determinano cambiamenti nel punteggio osservato.
• l'invarianza metrica fornisce un test più forte per l'invarianza introducendo il concetto di una stessa metrica, ossia di uguali intervalli di scala nei diversi gruppi
• l'invarianza metrica può essere esaminata vincolando le saturazioni ad essere uguali attraverso i gruppi.
• nell'invarianza metrica la calibrazione della misura del costrutto è la stessa nei diversi gruppi: un cambiamento unitario nei punteggi del costrutto ha la stessa conseguenza nel punteggio dell'item in tutti i gruppi.
• nell'invarianza metrica il pattern delle saturazioni fattoriali è invariante attraverso i gruppi, mentre le varianze/covarianze dei fattori, le varianze residue e le intercette sono diverse.
• quando le saturazioni, ovvero le relazioni tra variabili osservate e variabili latenti, sono uguali attraverso i gruppi, i fattori hanno lo stesso significato nei diversi gruppi.
• quando viene verificata l'invarianza metrica gli intervalli di scala dei costrutti latenti risultano confrontabili attraverso i gruppi
• item metricamente invariante

  stessa metrica (unità di misura) nei due gruppi: le rette di regressione di y (punteggi nell'item) su η (punteggi nel costrutto) hanno la stessa pendenza o slope (stesso factor loading).

  Un cambiamento unitario nel punteggio del costrutto produce uno stesso cambiamento atteso nel punteggio dell'item
• fallimento dell'invarianza metrica

  almeno un item ha valori diversi per i loadings nei gruppi, ovvero è più legato al costrutto in un gruppo rispetto ad un altro
• criteri per l'invarianza metrica

  1. il modello deve avere un buon adattamento
  2. i vincoli devono essere tenibili (indici di modifica associati a ciascuno dei parametri vincolati: non significativi)
  3. il confronto con il modello non vincolato non deve risultare significativo se effettuato con il chi-quadrato o dare origine a differenziali molto piccoli se effettuato con indici di fit alternativi (delta CFI<-.01)
• Se l'invarianza metrica viene confermata è possibile confrontare:

  • varianze e covarianze dei fattori attraverso i gruppi
  • gli effetti tra i fattori attraverso i gruppi
• se l'invarianza metrica è confermata non è possibile confrontare:

  • varianze e covarianze delle variabili osservate
  • effetti tra le variabili osservate attraverso i gruppi
• invarianza scalare (strong invariance)


  viene esaminata vincolando le saturazioni e le intercette delle variabili osservate (ovvero i punteggi osservati).

  Si ipotizza che non solo gli item abbiano la stessa metrica, ma anche la stessa origine, e quindi la stessa scala.
• se un item rispetta l'invarianza scalare

  differenze tra i gruppi nella media dell'item sono dovute solo alle differenze nel costrutto latente che esso misura