Lektion 5

• Zufallsexperiment


  Vorgänge, deren Ausgänge vom Zufall abhängen, mögliche Situationen sind jedoch im Vorhinein bekannt
• Ergebnismenge Ω


  Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs
• Ergebnismenge ΩBsp.:


  • Würfelwurf → Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Ereignis


  Eine Teilmenge der Ergebnismenge und beinhaltet das, was interessiert
• EreignisBsp.:


  • Würfelwurf → A = {2, 4, 6} (nur gerade Augenzahlen gewinnen)
• Arten von Ereignissen


  • Sicheres Ereignis
  • Unmögliches Ereignis
  • Elementarereignis
• Komplementärereignis (Gegenereignis)


  Alles was in Ω aber nicht in A enthalten ist
• Vereinigungsmenge ("A vereinigt B")


  Alle Ergebnisse die in A oder B stecken, mind. eines der beiden Ergebnisse tritt ein
• Durchschnittsmenge ("A geschnitten B")


  Beinhaltet die Gemeinsamkeiten von Ereignissen
• Differenz ("A ohne B")

  Das alleinige Eintreten eines Ergebnisses, wenn zwar A, aber nicht B eintritt
• Voraussetzung für Wahrscheinlichkeitsrechnung: Ergebnismenge eines Zufallvorgangs bekannt und endlich
• Wahrscheinlichkeit P

  P(A) = Anzahl der Ergebnisse in A / Anzahl der Ergebnisse in Ω
• Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten: P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1
• Wahrscheinlichkeit für Vereinigungsmenge (disjunkte Ereignisse)

  P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Wahrscheinlichkeit für Vereinigungsmenge (nicht disjunkte Ereignisse)

  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Wahrscheinlichkeit für Differenz (A soll eintreten B nicht)

  P(A\B) = P(A) - P(A ∩ B)
• Unabhängige Ereignisse

  Eintreten des einen Ereignisses nimmt keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen Ereignisses
• Wahrscheinlichkeit, zwei unabhängige Ereignisse treten gemeinsam ein

  P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• Zufallsvariable

  Variable, die Ergebnisse der Ergebnismenge in reelle Zahlen umwandelt
• Träger Tx von X

  Beinhaltet alle möglichen Ausprägungen einer Zufallsvariable
• Wahrscheinlichkeitsfunktion

  x → fX(x) = P(X = x) für alle x ∈ TX
• Bedingungen für Wahrscheinlichkeitsfunktion: keine negativen Wahrscheinlichkeiten, Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt 1
• Wahrscheinlichkeitsfunktion Münzwurf

  • P(X = 0) = 0,25

  P(X = 1) = 0,5

  P(X = 2) = 0,25
• Erwartungswert E(X) oder μ

  Erwartete Ausprägung einer Zufallsvariable
• Varianz Var(X) = σ^2

  Streuung einer Zufallsvariable
• Standardabweichung σ

  Erwartete Abweichung vom Erwartungswert
• Dichtefunktion fX(x)


  Enthält Ausprägungen und Dichten einer stetigen Zufallsvariable
• Gleichverteilung oder Rechteckverteilung


  Weist für gesamt gültigen Wertebereich ein- und dieselbe Dichte auf, nimmt Rechtecks Gestalt an
• Gleichverteilung Wartezeit

  • Maximale Wartezeit 3 Minuten, Dichte 0,1

  Wahrscheinlichkeit für Wartezeit zwischen 1-3 Minuten: 30%

  Wahrscheinlichkeit für Wartezeit zwischen 4-6 Minuten: 20%