fonction exponentielle

• Quelle est la définition de la fonction exponentielle de base e?

  La fonction exponentielle est notée $e^x$ ou $exp(x)$.
• Quel est le nombre d'Euler?

  Le nombre d'Euler est $e \approx 2,718$.
• Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle de base e?

  • $e^0 =$$1$
  • $e^1 =$$e$
  • $e^{x} \cdot e^{y} =$$e^{x+y}$
  • $\frac{e^{x}}{e^{y}} =$$e^{x-y}$
  • $e^{-x} =$$\frac{1}{e^{x}}$
  • $(e^{x})^n =$$e^{nx}$
• Comment simplifier l'expression $A =$$\frac{e^7 \cdot e^{-4}}{e^{-5}}$?


  A = $e^8$
• Quelle est la simplification de l'expression $B =$$(e^5)^{-6} \cdot e^{-3}$?


  B = $e^{-33}$
• Comment simplifier l'expression $C =$$\frac{1}{(e^{-3})^2} +$$\frac{(e^4)^{-1}}{e^2 \cdot e^{-6}}$?


  C = $e^6 +$$1$
• Quelle est la simplification de l'expression $D =$$\frac{(e^{2x})^3}{e^{3x+1} \cdot e^{-x-1}}$?


  D = $e^{4x}$
• Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) =$$e^x$?


  La dérivée est $f'(x) =$$e^x$.
• Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) =$$e^{kx}$?


  La dérivée est $f'(x) =$$ke^{kx}$.
• Quelle est la dérivée de la fonction $g(x) =$$(x-1)e^x$?


  g'(x) = $xe^x$
• Quelle est la dérivée de la fonction $h(x) =$$\frac{e^x}{x}$?


  h'(x) = $\frac{xe^x - e^x}{x^2}$
• Quelle est la primitive de la fonction $f(x) =$$e^{kx}$?


  La primitive est $F(x) =$$\frac{1}{k}e^{kx}$.
• Comment calculer l'intégrale $\int_0^2 2e^{3t} dt$?


  Résultat est $\frac{2}{3}e^6 - \frac{2}{3}$.
• Quelles sont les propriétés des équations exponentielles?

  • $e^a =$$e^b \Leftrightarrow a =$$b$
  • $e^a > e^b \Leftrightarrow a > b$
• Comment résoudre l'équation $e^{x^2 - 3} - e^{-2x^2} =$$0$?


  On obtient $x^2 =$$1$.
• Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle $e^x$?


  • $e^x > 0 \text{ pour tout } x \in R$
  • Dérivable sur R avec $(e^x)' =$$e^x$
  • Strictement croissante sur R
• Quelles sont les limites de la fonction exponentielle en $+$$\infty$ et $- \infty$?


  Limites sont $+$$\infty$ et $0$.
• Quelle est la limite de $-3e^x +$$5$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $- \infty$.
• Quelle est la limite de $-3e^x +$$5$ quand $x \to -\infty$?


  La limite est $5$.
• Quelles sont les propriétés de la fonction exponentielle $e^{kx}$?


  • $e^{kx} > 0 \text{ pour tout } x \in R$
  • Dérivable sur R avec $(e^{kx})' =$$ke^{kx}$
  • Croissante si $k > 0$, décroissante si $k < 0$
• Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) =$$xe^{-3x}$?


  f'(x) = $e^{-3x} - 3xe^{-3x}$
• Quelles sont les limites de la fonction exponentielle $e^{kx}$?


  • Si $k > 0$: $\lim_{x \to -\infty} e^{kx} =$$0$, $\lim_{x \to +\infty} e^{kx} =$$+$$\infty$
  • Si $k < 0$: $\lim_{x \to -\infty} e^{kx} =$$+$$\infty$, $\lim_{x \to +\infty} e^{kx} =$$0$
• Quelle est la limite de $2e^{-3x}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $0$.
• Quelle est la limite de $-3e^{-2x}$ quand $x \to -\infty$?


  La limite est $- \infty$.
• Quelles sont les comparaisons de croissance entre les fonctions exponentielles et les puissances?

  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} =$$0$
  • $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} =$$+$$\infty$
• Quelle est la limite de $\frac{x^2}{e^x}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $0$.
• Quelle est la limite de $x^3 e^{-x}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $0$.
• Quelle est la limite de $x^2 e^{-x} +$$\frac{1}{e^{2x}}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $0$.
• Quelle est la limite de $e^{2x}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $+$$\infty$.
• Quelle est la limite de $\frac{1}{e^{2x}}$ quand $x \to +$$\infty$?


  La limite est $0$.
• Quelle est la somme des limites $\lim_{x \to +\infty} x^2 e^x +$$\frac{1}{e^{2x}}$?


  La somme est $0$.