AES

• Événement


  Un ensemble d'issues
• Probabilité d'un événement


  La somme des probabilités de chaque issue de cet ensemble
• Espace des issues (Ω)


  L'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire
• Événement


  Un sous-ensemble de l'espace des issues
• Opérations sur les événements

  • Union (A ∪ B)
  • Intersection (A ∩ B)
  • Différence (A \ B)
  • Complémentaire (Ā)
• Deux événements A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅
• Probabilité


  Fonction de l'ensemble des événements F dans [0, 1] vérifiant : P(Ω) = 1 et P(∪i Ai) = Σi P(Ai) si les Ai sont deux à deux disjoints
• P(∅) = 0
• Pour tout événement A, P(A) + P(Ā) = 1
• Pour tous événements A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Si A ⊆ B alors P(A) ≤ P(B)
• Variable aléatoire


  Fonction sur Ω à valeurs réelles
• Loi d'une variable aléatoire


  Ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire et leur probabilité associée
• Loi d'une variable de Bernoulli


  • P(X=0) = 1-p
  • P(X=1) = p
• Loi d'une variable aléatoire


  • Ensemble des valeurs possibles
  • Probabilité avec laquelle elle réalise chaque valeur
• Loi d'une variable de Bernoulli X de paramètre p

  • Valeur de X = 0, Probabilité = 1-p
  • Valeur de X = 1, Probabilité = p
• Fonction de répartition FX

  FX(x) = P(X ≤ x)
• FX est une fonction en escalier
• Fonction indicatrice 1A


  1 si ω appartient à A, 0 sinon
• 1A∩B = 1A * 1B
• Si A et B sont disjoints, 1A∪B = 1A + 1B
• 1Ā = 1 - 1A
• 1A est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre P(A)
• Indépendance de deux événements A et B


  P(A ∩ B) = P(A)P(B)
• Indépendance de deux variables aléatoires X et Y

  P(X=xi, Y=yj) = P(X=xi)P(Y=yj)
• Indépendance d'un ensemble fini d'événements {A1, A2, ..., An}

  P(∩i∈I Ai) = Πi∈I P(Ai)
• Si X et Y sont indépendantes, alors f(X) et g(Y) sont indépendantes
• Probabilité conditionnelle P(A|B)


  P(A ∩ B) / P(B)
• Si A et B sont indépendants, alors P(A|B) = P(A)
• Probabilité conditionnelle de A sachant B

  P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ ¬B)
• P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 1/2
• Partition de Ω


  Toute suite (Ai, i ∈ I) vérifiant Ai ∩ Aj = φ pour tout i ≠ j et Σi∈I P(Ai) = 1
• Second moment


  La quantité E(X2) = Σω∈Ω X2(ω)P(ω)
• E(X2) n'existe que si Σω∈Ω X2(ω)P(ω) existe
• Variance


  Le nombre positif var(X) = E((X - E(X))2)
• var(X) = E(X2) - (E(X))2
• Variable X


  • E(X2) = Σi=1..n x2i pi
  • var(X) = Σi=1..n x2i pi - (Σi=1..n xipi)2
• Variance d'une variable de Bernoulli de paramètre p


  E(X2) = p, var(X) = p - p2
• var(aX) = a2var(X)