exponentielle

• Contenu du chapitre 10

  • Définition
  • Propriétés
  • Égalités et inégalités
  • Dérivée
  • Limites
  • Étude de variation de la fonction exponentielle
  • Intégrales
• Shift Ln 0 = 1
• Shift Ln 1 = 2,718281828
• Valeurs de e^x


  • 0,135...
  • 0,367...
  • 0,606...
  • 1
  • 2,718...
  • 7,389...
  • 20,085...
  • 33,115...
  • 22026,4...
  • 162754,7
• Pour n'importe quelles valeurs de x, e^x possède une valeur et cette valeur est positive
• Propriétés de la fonction exponentielle

  • e^(x+y) = e^x * e^y
  • e^(-x) = 1/e^x
  • e^(kx) = (e^x)^k
  • Ln(e^x) = x
• Exercice: Trouver le domaine de définition de f(x) = Ln(e^2x - 3e^x - 4)

  
• Exercice: Trouver le domaine de définition de f(x) = (e^(x+1))/(e^x-1)
• Simplifier B = (e^(3+Ln 4))/(e^(2-Ln 3))
• Résoudre dans ℝ: e^(5x+3) = e^(2x)


  1. 5x + 3 = 2x

  2. 3x = -3

  3. x = -1
• Résoudre dans ℝ: e^x = 2


  x = Ln 2

  
• Résoudre dans ℝ: 2e^(-x) + e^x - 3 = 0

  1. Multiplier par e^x

  2. e^2x - 3e^x + 2 = 0

  3. Poser t = e^x

  4. t^2 - 3t + 2 = 0

  5. Résoudre

  6. x = 0 ou x = Ln 2
• Résoudre dans ℝ: e^(2x-4) ≥ -3


  Toujours vrai, S = ℝ
• Résoudre dans ℝ: e^(1+Ln x) ≤ 3

  1. 1 + Ln x ≤ Ln 3

  2. Ln x ≤ Ln 3 - Ln e

  3. Ln x ≤ Ln (3/e)

  4. x ≤ 3/e
• Résoudre dans ℝ: e^(2x) - 3e^x - 4 ≤ 0


  1. Poser t = e^x

  2. t^2 - 3t - 4 ≤ 0

  3. Résoudre

  4. 0 < e^x ≤ 4

  5. x ≤ Ln 4
• Dérivée de f(x) = e^(x^2)
• Dérivée de f(x) = Ln(e^x + e^(-x))
• Calculer la dérivée de f(x) = e^(2x) + e^(-x) - 3x


  f'(x) = 2e^(2x) - e^(-x) - 3
• Calculer la dérivée de f(x) = (x - 3)e^x


  f'(x) = e^x(1 + x - 3) = e^x(x - 2)
• Calculer la dérivée de f(x) = (1-x)/e^x


  f'(x) = (e^x(x-2))/e^(2x)
• Calculer la dérivée de f(x) = e^(x^2+1) + 5x

  f'(x) = 2x e^(x^2+1) + 5
• Calculer la dérivée de f(x) = Ln(e^(2x) + e^x + 1)


  f'(x) = (2e^(2x) + e^x)/(e^(2x) + e^x + 1)
• Calculer la dérivée de f(x) = e^(1+Ln x)


  f'(x) = 1/x * e^(1+Ln x)
• mais 𝑡 > 0
• 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑡 ∈ 0, 4
• 0 < 𝑒𝑥 ≤ 4
• alors 𝑥 ≤ 𝑙𝑛4
• 1. �� 𝒙 = 𝒆𝒙𝟐


  • 𝒇′ 𝒙 = 2𝑥𝑒𝑥2
• 1. 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏(𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙)


  • 𝒇′ 𝒙 = 𝒆𝒙−𝒆−𝒙𝒆𝒙+𝒆−𝒙
• Exercices


  Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes:
• 1. 𝒇 𝒙 = ��𝟐𝒙 + 𝒆−𝒙 − 𝟑𝒙


  • 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒆𝟐𝒙 − ��−𝒙 − 𝟑
• 1. 𝒇 𝒙 = (𝒙 − 𝟑)𝒆𝒙


  • 𝒇′(𝒙) = 𝒆𝒙(�� − 𝟐)
• 1. 𝒇 𝒙 = 𝟏−𝒙𝒆𝒙

  • 𝑓′ 𝑥 = 𝑥−2��𝑥𝑒𝑥
• 1. 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙𝟐+𝟏 + 𝟓𝒙

  • 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 𝑒𝑥2+1 + 5
• 1. 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒆𝟐𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝟏

  • 𝑓′ 𝑥 = 2��2𝑥+𝑒𝑥𝑒2𝑥+𝑒𝑥+1
• 1. 𝒇 𝒙 = 𝒆𝟏+𝒍𝒏𝒙


  • 𝑓′ 𝑥 = 1𝑥 𝑒1+𝑙𝑛𝑥
• Limites

  1. lim

  𝑥→+∞ 𝑒𝑥 = +∞

  2. lim

  𝑥→−∞ 𝑒𝑥 = 0

  3. lim

  𝑥→+∞

  𝑒𝑥

  𝑥 = +∞
• Exercices


  1. lim

  𝑥→+∞( 𝑥 + 1 − 𝑒𝑥) = −∞

  2. lim

  𝑥→−∞(𝑥 + 3)𝑒𝑥 = 0

  3. lim

  𝑥→+∞

  5𝑥+3

  𝑒𝑥 = 0
• 𝑒𝑥 est la dérivée de 𝑒𝑥
• 𝑒𝑢(𝑥) ′ = 𝑢(��)′𝑒𝑢(𝑥)